(整理)广告费用与销售量关系

广告费用与销售量的关系

1.摘要

一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。本文从广告与销售速度的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。在模型的分析中，通过对初始销售速度s0与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。

关键字 微分方程 最佳广告宣传时间 线性规划 广告策略

精品文档

精品文档

2问题重述

目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的重要方式。然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的效果都是千差万别的。本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如下两个问题：

（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮助企业获得较大的利润。由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。

（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。

3问题分析

在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之重的问题。现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从而实现企业利润更大化。所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利润。

4模型假设

1 商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。

2 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。 3 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，产品的销售过程和宣传力度均为连续过程；

4 产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定； 5 商家的信誉度和产品质量是良好的； 6 广告具有立时性，一旦宣传就起效应；

7 假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度；

5符号说明

符号 s(t) s0 符号说明 t时刻商品的销售速度 初始销售速度 t时刻广告水平（用费用表示） 销售的饱和水平（即市场对商品的最大容纳能力） 衰减因子（即广告作用随时间增长而自然衰减的速度） A(t) M  精品文档

精品文档

P  T t1 响应函数即A(t)对s(t)的影响能力 投入广告的周期 广告时间段地长度 开始广告销售的时间 每件产品的利润 广告的总费用 平均利润  a Q(t) 6模型的建立与求解

6.1模型一

根据广告与销售速度的关系利用微分方程建立模型，通过对初始速度s0和利润Q的关系利用规划求解出不同产品的初始销售速度s0对应不同的最优开始广告宣传时间。

由假设已知销售速度的变化率与广告宣传力度成正比，但广告只能影响该商品尚未饱和的部分。且自然衰减是销售速度的一种性质，即是销售速度随商品速率增加而减少。

故建立以下的微分方程： dss(t)PA(t)(1)s(t) （1） dtM当A(t)0或 s(t)M时

dss(t) （2） dt为了求解（1）式，我们引入下面不同广告的宣传力度进行求解。 我们选择一个广告策略

都有：

A0t 其中A为常量。 A(t)0ta在（0，）时间段内，用于广告的总费用为a，则A，代入模型方程(1)有

dsPaa(.)sP. （3） dtM令 Paa.d P.m M则有

dsmdsm 其解为 s(t)cedt dtdm(1edt)s0.edt （4） d若令s(0)s0，则 s(t)精品文档

精品文档

当t时，模型为其通解为scet

dss(t) dt而t时，s(t)s()

故s(t)s().e(t) （5）

mdtdt(1e)s0e0t故 s(t)d （6）

s()e(t)tA(t)和s(t)的图形如下图所示

结果的模型的分析：

（1）生产企业若保持稳定销售，即ds/dt=0，那么我们可以根据模型估计采用

广告费用

PA(t)(1s(t))s(t)0M

可得到

A(t)sP(1s)M

（2） 在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度s接近极限速度M的水平时，增加广告所取得的效果更显著。 下面是某产品投入的广告费与销售量的调查表;

精品文档

精品文档

销售 周期 1 2 3 广告费A(n) 百万 5.5 6.75 7.25 销售量s(n)百万 s(n1)A(n)s(n)s(n) s(n) 1.13 1.01 -2.02 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 5.5 7 6．5 6．75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6．8 6.8 6.5 7.38 -40.59 -7.38 8.51 -57.4425 -8.51 9.52 -69.02 -9.52 -7.7.5 -41.25 5 9.33 -65.31 -9.33 -8.28.28 -53.82 8 8.75 -59.0625 -8.75 7.87 -41.3175 -7.87 7.1 -37.275 -7.1 8 -48 -8 7.89 -51.285 -7.89 8.15 -50.9375 -8.15 9.1 -63.7 -9.1 8.86 -61.134 -8.86 1.83 -1.05 0.477 -0.88 -0.77 0.9 -0.11 0.26 0.95 -0.24 0.04 -0.03 0.39 -0.26 -0.25 -0.8 -0.3 -0.38 0.73 0.5 0.25 28 29 精品文档

5.75 5.8 8.9 -60.52 -8.9 8.87 -60.316 -8.87 9.26 -65.746 -9.26 9 -63 -9 8.75 -59.5 -8.75 7.95 -51.675 -7.95 7.65 -47.8125 -7.65 7.27 -43.62 -7.27 8 -52 -8 8.5 -59.5 -8.5 -8.78.75 -59.5 5 0.46 9.21 -62.628 -9.21 -0.94 8.27 -53.755 -8.27 -0.6 -7.67.67 -44.1025 7 0.26 7.93 -45.994 -7.91.精品文档

30

6.8 9.26 3 33 -62.968 -9.26

下面我们用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：

s(n)Ps(n1)s(n)PA(n)(1)s(n)=PA(n)A(n)s(n)s(n)

MMs(n1)s(n)PA(n)b(s(n)A(n))(s(n))

上式是关于M，，P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得

6.2模型二

下面选择另外的一种广告策略;

0A(t)A00tt1t1tt1T tt1T在(t1, t1T)时间内，用于做广告花费a，则有：A

a 代入（１）式有： TdsPaa(.)sP (7) dtMTT因,a,M,P,T均为常数，令：

精品文档

精品文档

Paa.b k MTTds则(3)式可变为bsPk (8)

dtk则： s(t)ceb

b若令:s(t1)s1 则：s(t)(1ebt)ks1ebt (9) b当0tt1,tt1T时，有：

dsdts 其通解为：scet 而t0时,s(0)s0 所以s(t)s0.et1 则：t11lns1s 0tt1T时，s(t)s2

所以 s(t)s(tTt1)2.e 故：

st0.e0tt1 s(t)(1ebt)ksbtb1.et1tTt1 (10)

s2.e(tTt1)tTt1销售速度曲线图：下面用v(t)代替s(t)来表示销售速度，精品文档

v0代替s0

精品文档

7模型的检验和参数估计

下面给出某产品的销售量 时间(周) 销售量(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 560 479 400 485 572 837 1123 1667 1934 1821 1773 1683 1612 由数据拟合可以画出：

精品文档

精品文档

下面我用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：

s(n)s(n1)s(n)PA(n)(1)s(n)

M上式是关于M，，P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得 P=1.412, M=1934， = 0.357 . 由此可解得：b=0.357 k=0.064 . 则该产品的广告模型为： dss(t)1.412A(t)(1)0.357s(t) t1tt1T (11) dt1934由数据检验模型的精度，用（11）式对12周销售量进行预测，结果为1516。而实际结果是1612。相对误差是5.96%。说明模型是可行的。

8模型分析

设在产品刚上市后销售量为V0,则不同产品将对应不同的V0 。可通过对不同的V0进行讨论，求得最佳开始广告宣传时间t1。我们以从产品上市到广告完毕这段时间内的平均利润达到最大为目标，构成以下最优函数：

t1MaxQ(t)V0edt0tt1Tt1kbtbt(1e)Vedta1bt1T （8）

精品文档

精品文档

即：MaxQ(t)V0tV0kVVeT(120)(ebt1)abbb1t1T

8.1模型一：

若V0很小，这为商家不可接受的销售速度，由(7)式可知V(t)越小广告效果越明显,则由平均利润函数可得，

当t1=0时开始做广告将对商家最有利，此时平均利润为：

Q(t)V0kVVT(020)(ebt1)abbbT （9）

另外，我们也可以根据对应的图象进行分析得出结论：当t1=0时开始做广告为

最佳时间。

8.2模型二：

若V0比较大，为商家可以接受的销售速度（随着人们对它的拥有量的增加，销售速度将减慢），此时做广告效益不大。为节省广告空间，商家将选择过一段时间再作广告。设V1为商家开始作广告时的销售速度（V1必大于商家所能承受的最低销售速度）。

由利润函数可得V1与Q(t)、t1的关系：

MaxQ(t)1V0tV0kVVeT(120)(ebt1)abbb1t1TlnV1, V0 （10）

其中t1在（10）式中，b， k， 为已知系数，由不同产品和市场因素确定。而V1,a,T, V0 由商家根据实际情况而定。

因此可由规划求解，给定不同的V0，V1，a,T,可求出相应的t1及相应利润Q(t)。 从数据对比中可知Q(t)最大时取得的t1为最优开始做广告的时间。

精品文档

精品文档

另外，我们也可由相应的图象分析得出最优时间不是在t1=0时。

9模型应用

我们建立的模型可以广泛应用到实际生产中去，下面两个实例可充分说明模型的可行性：

实例一：1968年某国某名牌新产品摩托车进入市场的销售情况： 时间1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12 （月） 销售量（辆） 4520 4960 5320 5170 4930 4660 此表反映了模型一的情况。 实例二：1972年（某国）鲜柠檬进入市场的销售情况： 广告前 7-8 20.9 9-10 28.3 11-12 39.5 广告中 13-14 43.6 15-16 17-18 44.3 44.1 时间1-2 3-4 5-6 （周） 销售量27.1 26.5 24.2 （万瓶） 此表反映了模型二的情况。 10模型评价及改进

模型有以下优点：

1、易于推广，模型构思巧妙，能准确得出最佳开始广告宣传时间； 2、应用范围广，可应用各种新产品的市场销售计划；

3、基本模型对问题的描述精确、合理，推导严谨，理论性强。 模型的缺点： 1、商家难以确定产品刚上市时的销售速度V0，须经过一定时间的试销才能确定； 2、没考虑产品需求量的动态变化。 3、实际过程中应进行消费者行为测试，广告效果研究以及广告时间长度的研究。 4、实际广告宣传力度并不是理想不变的状态，

精品文档

精品文档

5、没有利用规划求解对不同产品列出V1与Q(t)、t1的对应表，以供商家选择。 本模型可以从以下几个方面进行改进：

1、由于一些新产品适合在未上市前做广告，在这种情况下此模型不再适合。 2、从长期利益考虑，可根据市场要求及商家本身情况选择做多次广告加强消费者对此产品的记忆力。

为了完善模型，可以对广告效益进行评估。方法有以下几种：

一是采用SMEI消费者行为研究（包括品牌研究，生活形态研究，消费者使用态度和购买习惯研究，购买行为研究，满意度研究等）；

二是广告效果指数：AET=[A-(A+C)*B/(B+D)]/(A+B+C+D)； 其中 A：看过广告而购买的人数；

B：未看过广告而购买的人数； C：看过广告未购买的人数； D：未看过广告而未购买的人数。 三是广告效益的评估 B=(s2-s1)qr-p 其中：B为广告效益；

s1为最广告前的销售量； s2为广告后的销售量 ；

q是一项产品或同类产品的价格或平均价格； r是与价格同口径的利润率 ； p是广告费。

11参考文献

（1）姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。 （2）寿纪麟，数学建模——方法与范例，西安交大出版社。 （3）（美）JOHN A.QUELCH 等著 吕—林 等译，市场营销管理教程和案例,

北京大学出版社 2000。

（4）戴永良 广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。

精品文档