浅谈数形结合思想在教学中的应用

题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用

学 号： 0707140154

姓 名： 汪 洋 专 业：数学与应用数学

年 级：07级一班

系 别：数学系

完成日期：2010年10月

指导教师：

浅谈数形结合思想在教学中的应用

汪洋

（合肥师范学院数学系）

摘 要

数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量

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关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。 数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。

关键词: 数形结合思想；直观；数学教学；应用

Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching application

Wang yang

（Department of Mathematics, Hefei Normal University）

ABSTRACT

Counts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one hand, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition

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enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”.

Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application

目 录

一、前言…………………………………………3

二、正文…………………………………………3

（一） 解决集合问题………………………………………………………………5

（二） 解决函数问题………………………………………………………………5

（三） 解决方程与不等式的问题………………………………………………………………………6

（四） 解决三角函数问题………………………………………………………………………8

（五） 解决线性规划问题 ………………………………………………………………………………9

（六） 解决数列问题…………………………………………………………………………………… 10

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（七） 解决解析几何问题 ………………………………………………………………………………10

三、 结束语……………………………………………………………………………………………………11

前言：数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。本文就针对数形结合思想在数学教学中的应用简单谈一下自己的看法。

正文：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化

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为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何中的应用做一个系统的分析。

(一)、解决集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

图1

(二)、解决函数问题

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利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。

1例 2: 对于 xR, y 取 4 - x, x + 1，2(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大

值。

分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y

1= x + 1, y = 2(5 - x)的图像，如图2。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y与

x 的函数关系式是:

y=

x11(5x)24x(x1)(1<13)

(x> 3)

图2

它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。

例 3 :若函数 f(x)是定义在R上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x)< 0的x的

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范围。

解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,

做出图3,由图像可知f(x)< 0 ，所以x（- 2，2)

图3

(三)、解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例 4: 已知关于x 的方程

(x24x3)2=px，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围。

分析: 设y =

(x24x3)2=

x24x3与y=px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的

图像, 如图4。可知：

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图4

(1)直线y= px 与y= -(x- 4x+ 3) , x[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

2(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这两者之间,

y(x24x3)由:ypx 得

2x+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时, x= - 3 [1, 3 ]舍去, 所

以实数p的取值范围是 0< p< 4- 23 。

12例 5: 若不等式 x- ㏒ax < 0, 在（0,2)内恒成立, 则a的取值范围是什么?

1222分析: 原不等式可化为x < ㏒ax，x（0,2)，设y1= x与y2= ㏒ax，在坐标系中作出y1= x，111112x（0,2)的图像，如图当x=2时，y1= x =4，显然, 当x（0,2)时，y1< 4就恒成立。

12①当a >1 时, 在（0,2)上y2= ㏒ax图像( 如图5 )在y1= x的图像下方, 不合题意。

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图5

11②当 0< a< 1 时，y2= ㏒ax在（0,2)上的图像（ 如图6 ）是减函数。只需 y24 ，就可

12以使x< ㏒ax，x（0,2)恒成立。

图6

11111,114故㏒a24，㏒2a4，所以a（2）=16 , 综上有a∈16 。

把方程不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。

(四)、解决三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

pp，例 6： 设 x42，求证: cscx - cotx2 - 1

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分析: 由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形ABC, 如图7，设∠CDB=x, 利用 AD+DBAB=2，可得cscx - cotx2 - 1。

图7

pp例 7：已知0sin2x+sin2y+sin2z。

证明: 如图8,在单位圆中,设∠AOD=x, ∠BOD=y, ∠COD=z,则 A,B,C点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。

图中三个矩形面积分别为2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。

显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有

p2+2sinxcosy+2sinycosz >sin2x+sin2y+sin2z。

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图8

(五)、解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例8：已知1x - y2且2x + y4,求 4x - 2y 的范围。

解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。

在平面坐标系中作出直线 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,则 1x - y2和2x

m+ y4表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图9所示，令4x - 2y = m ,则y = 2x - 2，显然 m 为

直线系4x - 2y = m 在y轴上截距2倍的相反数,易看出,直线4 x - 2 y = m 过阴影最左边的点 A

31,2（2) 时, m 取最小值 5 ；过阴影最右边的点 C(3 ,1) 时, m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范围

是[5，10]。

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图9

该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。

(六)、解决数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

例9： 等差数列{ an}中,前m项的和Sm= Sn( mn) ,求 Smn的值。

m（m1）n（n1）dd22解：代入等差数列的求和公式,则由Sm= Sn，得ma1 + = na1 + ,因为

mn，所以a

1mn1d2 + = 0，S

mn=（m+n）a

1(mn（)mn1)d2 + =

(mn1)ad12= 0。 (m+n)这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。

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由Sn=An+Bn，Sm=Am+Bm 。因为mn，所以Smn= A(m+n)+B（m+n）（m+n）

222SmSnA(mn)B = (m+n)mn = 0 。若再进一步利用Sn=An2+Bn的二次函数图像就可产生如下

解法：由Sn=An+Bn，不妨设A< 0，而 y = Ax+Bx的图像是一个过坐标原点的抛物线，则由

22mnSm= Sn( mn)可知，该抛物线的对称轴方程是x = 2，易知,抛物线和x轴的一个交点是原点,

另一交点的横坐标是(m + n)，故Smn=0 。

这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。

(七)、解决解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

例 10：如图10 ,矩形ABCD，AD = a ，DC = b ,在 AB上找一点 E,使 E点与 C，D的连线将矩形分成的3个三角形相似。设AE = x，问: 这样的E点是否存在,若存在,这样的点E有几个?请说明理由。

解：假设在AB上存在点 E，使得3个三角形相似,所以△ECD一定是直角三角形。

∴Rt△ADE ∽ Rt△ECD ∽ Rt△BEC.

∵AD = a，DC = b , AE = x ,

∴BE = b - x

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ADAEax22于是BE = BC,得bx =a，即x- bx + a = 0

∴Δ = b- 4a = (b + 2a) ( b - 2a)

22∵b + 2a > 0,a > 0,b > 0

∴ ①当 b - 2a < 0 ,即 b < 2a时,Δ< 0 ,方程无实数解, E点不存在；

②当 b - 2a = 0 ,即 b = 2a时,Δ= 0 ,方程有两个相等的正实数根,E点只有一个；

③当 b - 2a > 0 ,即 b > 2a时,Δ> 0 ,方程有两个不相等的正实数根, E点有两个 。

图10

说明：本题是一道几何问题,其几何量之间的关系运用代数式及方程来表示,并根据方程的理论进行了由数到形的探究 。

结束语：数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。“数无形时不直观, 形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系, 是对数形

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结合方法最通俗的、最深刻的剖析。

总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。用数学思想指导知识，方法的灵活运用，培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。 数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼 ,不如授之以渔” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。

参考文献：

【1】 徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报, 2009,(01).

【2】杨琴.高等数学教学中应重视数形结合思想的作用[J].才智,2009,(15).

【3】刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用[J].各界(科技与教育),2009,(02).

【4】叶柏团.浅谈数学思想方法在数列解题中的应用[J ].福建教育学院学报,2003(6):92 - 93.

【5】曾剑华.浅淡数形结合在函数教学中的应用[J]. 科技创新导报, 2009,(14).

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