一．选择题：本大题同12小题，每小题3分，共36分． 1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于原点对称的点位于（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A．ax2+bx+c=0
B．
=2
C．x2+2x=x2﹣1
D．3（x+1）2=2（x+1）
4．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A．y=1﹣
x2
B．y=2（x﹣1）2+4
C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
5．如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列叙述中错误的是（）
A．旋转中心是点C B．顺时针旋转角是90° C．旋转中心是点B，旋转角是∠ABC D．既可以是逆时针旋转又可以是顺时针旋转
6．如图，CE是圆O的直径，⊙O的直径，AB为⊙O的弦，EC⊥AB，垂足为D，下面结论正确的有（ ） ①AD=BD；②
=
；③
=
；④OD=CD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠AOB=60° B．∠ADB=60° C．∠AEB=60° D．∠AEB=30°
8．一元二次方程x2﹣mx+2m=0有两个相等的实数根，则m等于（ ） A．0或8
B．0
C．8
D．2
9．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
上一点，且
=
，连接CM，交AB于
12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为点E，交AN于点F，现给出以下结论： ①AD=BD；②∠MAN=90°；③
=
；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分．
13．已知x1，x2是方程2x2﹣5x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
15．圆的两条平行弦的长分别为6、8，若圆的半径为5，则这两条平行弦之间的距离为 ．
16．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是 ．
18．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，在下列四个算式中判定正确的是 ．
①a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；②a＞0；③b2﹣4ac≥0；④x1＜x0＜x2．
三、解答题：本小题共7小题，共66分．
19．（8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值．
20．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点时网格线的交点）
（1）将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C； （2）求线段BB1的长度为 ．
21．（10分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）求△CAB的面积．
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1=∠2．
23．（10分）某商品现在的售价为每件30元，每天可卖出40件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
每件售价（元） 每天销量（件）
原价 每件降价1元 30 40
29 42
每件降价2元 … 28 44
… …
每件降价x元
（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
24．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和A′B′C重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2．
（1）如图2，固定△ABC，将△A′B′C绕点C旋转，当点A′恰好落在AB边上时，
①∠CA′B′= ；旋转角ɑ= （0°＜ɑ＜90°），线段A′B′与AC的位置关系是 ； ②设△A′BC的面积为S1，△AB′C的面积为S2，则S1与S2的数量关系是什么？证明你的结论；
（2）如图3，∠MON=60°，OP平分∠MON，OP=PN=4，PQ∥MO交ON于点Q．若在射线OM上存在点F，使S△PNF=S△OPQ，请直接写出相应的OF的长．
25．（10分）已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c． （1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣
．
2016-2017学年天津市西青区杨柳青三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题同12小题，每小题3分，共36分． 1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误； B、不是中心对称图形，故B选项错误； C、不是中心对称图形，故C选项错误； D、是中心对称图形，故D选项正确． 故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．
2．在直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于原点对称的点位于（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】关于原点对称的点的坐标． 【专题】计算题．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．据此即可确定对称点的象限．
【解答】解：∵点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），其横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点A（2，﹣3）关于原点对称的点位于第二象限． 故选B．
【点评】本题主要考查了在直角坐标系中，关于原点对称的点的特点，以及对于点在第几象限的判断．
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A．ax2+bx+c=0
B．
=2
C．x2+2x=x2﹣1
D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误； B、
+=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2﹣1是一元一次方程，故C错误； D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A．y=1﹣
x2
B．y=2（x﹣1）2+4
C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可． 【解答】解：A、y=1﹣
x2是二次函数；
B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数； C、y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，是二次函数； D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数； 故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．
5．如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列叙述中错误的是（ ）
A．旋转中心是点C
B．顺时针旋转角是90°
C．旋转中心是点B，旋转角是∠ABC
D．既可以是逆时针旋转又可以是顺时针旋转
【考点】旋转的性质．
【分析】观察图形，选择旋转中心，旋转方向，旋转角．旋转中心只有一个，旋转方向可以是顺时针或者逆时针，相应的旋转角不同．
【解答】解：根据旋转的性质可知，△ABC通过旋转得到△DCE，它的旋转中心是点C，A正确，C错误； AC⊥CD即顺时针旋转的旋转角为90°，B正确；
两个三角形，既可看成是顺时针旋转又可看成是逆时针旋转，只是旋转角不同，D正确． 故选C．
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
6．如图，CE是圆O的直径，⊙O的直径，AB为⊙O的弦，EC⊥AB，垂足为D，下面结论正确的有（ ） ①AD=BD；②
=
；③
=
；④OD=CD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：∵CE是圆O的直径，⊙O的直径，AB为⊙O的弦，EC⊥AB，垂足为D，
∴CE垂直平分AB，
∴AD=BD，故①正确； ∴弧AC=弧BC，故②正确； ∴弧AE=弧BE，故③正确； ∵AB是⊙O的弦，CE是直径，
∴CD≠OD，故④错误． 故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知以上知识．
7．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（
）
A．∠AOB=60° B．∠ADB=60° C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
【考点】圆周角定理．
【分析】由圆周角定理知，∠AEB=∠C=60°，∠AOB=2∠C=120°，∠ADB=∠C+∠CAD＞∠C=60°，所以只有C正确．
【解答】解：∵∠ACB=60°， ∴∠AEB=∠ACB=60°， ∠AOB=2∠ACB=120°，
∠ADB=∠ACB+∠CAD＞∠ACB=60°，故只有C正确． 故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．一元二次方程x2﹣mx+2m=0有两个相等的实数根，则m等于（ ） A．0或8
B．0
C．8
D．2
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等实数根可得△=（﹣m）2﹣4×1×2m=0，解之即可． 【解答】解：根据题意知，△=（﹣m）2﹣4×1×2m=0， 即m2﹣8m=0， 解得：m=0或m=8， 故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
9．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1
D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【分析】需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性． 【解答】解：∵抛物线顶点坐标是P（1，3）， ∴对称轴为x=1，
又∵抛物线开口向下，
∴函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x＞1． 故选C．
【点评】考查二次函数的图象与性质．
10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=【解答】解：∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=2∠A=45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=
OC=2
， ．
OC=2
，然后利用CD=2CE进行计算．
∴CD=2CE=4故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴﹣殊点进行推理判断即可求解．
＞0，可得b＜0，抛物线与y轴交点为负半轴，可知c＜0，再根据特
＞0，
【解答】解：由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴﹣∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点为负半轴，可知c＜0， ∴abc＞0； ∵对称轴﹣∴2a+b＞0；
＜1，
当x=1时，y=a+b+c=0； 当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0． 故值为正的有3个． 故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是掌握根据图象获取信息的能力．
上一点，且
=
12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为点E，交AN于点F，现给出以下结论： ①AD=BD；②∠MAN=90°；③
=
，连接CM，交AB于
；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4
D．5
=
=
，得出④正确，结合②④得出⑤
【考点】圆周角定理；垂径定理． 【专题】压轴题．
【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，正确即可．
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN， ∴AD=BD，∵∴
==
， =
， =
，∠MAN=90°（①②③正确）
∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确） ∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，∠EAF=∠AFM， ∴AE=EF，
∴AE=MF（⑤正确）． 正确的结论共5个． 故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．
二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分．
13．已知x1，x2是方程2x2﹣5x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是 【考点】根与系数的关系．
．
【分析】直接根据根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣5x﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=﹣
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，即x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 4 ．
【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】压轴题．
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可． 【解答】解：∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=3， ∵OB=AB=5， ∴OD=故答案为4．
=4．
【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
15．圆的两条平行弦的长分别为6、8，若圆的半径为5，则这两条平行弦之间的距离为 7，1 ． 【考点】垂径定理；平行线之间的距离．
【分析】这两条平行弦可能位于圆心的同侧，也可能位于圆心的两侧，应分两种情况进行讨论，在同侧时，这两条平行弦之间的距离是两弦弦心距的差，在两侧时，这两条平行弦之间的距离是两弦弦心距的和． 【解答】解：在直角△OAC中，AC=AB=3， OC=
=
=4，
同理，EF的弦心距是3，
当两条平行线在圆心的两侧时：两条平行弦之间的距离是4+3=7；
当两条平行线在圆心的同侧时：两条平行弦之间的距离是4﹣3=1． 故答案为：7或1．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角或弦心距的问题转化为解直角三角形的问题．
16．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 y=x2+2x+3 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值． 【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b， 把A（0，3）代入，得 3=﹣1+b， 解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3． 故答案是：y=x2+2x+3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
17．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是
．
【考点】旋转的性质．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=
，OM=CM•sin60°=
，
，最终得到BM=BO+OM．
【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴AC=CM=2
，
∵AB=BC，CM=AM， ∴BM垂直平分AC， ∴BO=AC=∴BM=BO+OM=故答案为：
，OM=CM•sin60°=+ +
， ．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
18．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，在下列四个算式中判定正确的是 ① ． ①a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；②a＞0；③b2﹣4ac≥0；④x1＜x0＜x2． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对各选项讨论即可得解．
【解答】解：
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况， ∴选项②项错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2， ∴b2﹣4ac＞0，故选项③错误； 若a＞0，则x1＜x0＜x2，
若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故选项④错误 若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0， ∴（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故选项①正确， 故答案为：①．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，①选项要注意分情况讨论．
三、解答题：本小题共7小题，共66分． 19．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴32+2m×3+m2﹣1=0， 解得，m=﹣4或m=﹣2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点时网格线的交点） （1）将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C； （2）求线段BB1的长度为 3
．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出线段BB1的长度． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C，即为所求；
=3
．
（2）线段BB1的长度为：故答案为：3
【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（10分）（2016秋•西青区校级期中）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式； （2）求△CAB的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）将（﹣2，0），（4，0）代入函数解析式，列出b和c的二元一次方程组，求出b和c的值； （2）首先求出点C的坐标，再求出AB的长，利用三角形面积公式求出答案即可． 【解答】解：（1）将（﹣2，0），（4，0）代入函数解析式中得
，
解得：b=1，c=4．所以y=﹣x2+x+4；
（2）当x=0时，y=4．所以C（0，4），AB=6． S△ABC=AB•OC=×6×4=12．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是列出b和c的二元一次方程组，此题难度不大．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1=∠2．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】计算题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2． 【解答】（1）解：∵BC=DC， ∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°； （2）证明：∵EC=BC， ∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD， ∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠BDC=∠CBD， ∴∠1=∠2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
23．某商品现在的售价为每件30元，每天可卖出40件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
每件售价（元） 每天销量（件）
（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解． 【考点】二次函数的应用．
原价 每件降价1元 30 40
29 42
每件降价2元 … 28 44
… …
每件降价x元
【分析】（1）根据售价=原售价﹣降低的价格，销售量=原销量+2×降低的价格可得； （2）根据销售额=售价×销售量，列出函数解析式并配方，即可得最值情况．
【解答】解：（1）由题意知，每件降价x元时，每件的售价为（30﹣x）元，每天销量为（40+2x）件， 故答案为：30﹣x，40+2x；
（2）根据题意可得，y=（30﹣x）（40+2x）=﹣2x2+20x+1200=﹣2（x﹣5）2+1250，
∴当x=5时，y取得最大值，最大值为1250元，
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是1250元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
24．（10分）（2016秋•西青区校级期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和A′B′C重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2．
（1）如图2，固定△ABC，将△A′B′C绕点C旋转，当点A′恰好落在AB边上时，
①∠CA′B′= 60° ；旋转角ɑ= 60° （0°＜ɑ＜90°），线段A′B′与AC的位置关系是 平行 ； ②设△A′BC的面积为S1，△AB′C的面积为S2，则S1与S2的数量关系是什么？证明你的结论；
（2）如图3，∠MON=60°，OP平分∠MON，OP=PN=4，PQ∥MO交ON于点Q．若在射线OM上存在点F，使S△PNF=S△OPQ，请直接写出相应的OF的长．
【考点】几何变换综合题． 【专题】综合题．
【分析】（1）①如图2，理由旋转的性质得∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′为旋转角，则可判断△CAA′为等边三角形，于是得到∠ACA′=60°，旋转角为60°；然后根据平行线的判断方法可判断A′B′∥AC； ②先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出A′E=CA′=1，CE=和S2，从而得到它们的数量关系；
A′E=
，然后根据三角形面积公式计算出S1
（2）如图3，作PF1∥ON交OM于F1，作PF2⊥OP交OM于F2，先证明四边形OQPF1为平行四边形得到PF1=OQ，则S△NF1P=S△
POQ
，再证明△F2F1P为等边三角形得到PF2=PF1，于是利用（1）中的结论得S△PNF2=S△OPQ，则可判定点F1、点F2为满足条件的
点，然后计算OF2和OF1即可．
【解答】解：（1）①如图1，∵∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2， ∴∠CAB=∠CA′B′=60°，BC=2如图2，
，
∵△A′B′C绕点C旋转，点A′恰好落在AB边上， ∴∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′为旋转角， ∴△CAA′为等边三角形， ∴∠ACA′=60°， 即旋转角为60°；
∵∠CA′B′=∠ACA′， ∴A′B′∥AC；
A′E=
，
故答案为60°；60°；平行； ②S1=S2．理由如下： ∵A′B′∥AC， ∴A′E⊥BC，
在Rt△CA′E中，A′E=CA′=1，CE=∴S1=•1•2S2=•2•∴S1=S2；
==
，
，
（2）如图3，作PF1∥ON交OM于F1，作PF2⊥OP交OM于F2， ∵∠MON=60°，OP平分∠MON， ∴∠POQ=∠POF1=30°， ∵PQ∥OM，PF1∥OQ， ∴四边形OQPF1为平行四边形， ∴PF1=OQ， ∴S△NF1P=S△POQ，
∵∠OPF2=90°，∠F2OP=30°， ∴∠OF2P=60°，
而∠F2F1P=∠MON=60°， ∴△F2F1P为等边三角形， ∴PF2=PF1，
由（1）中的结论得S△PNF2=S△OPQ， ∴点F1、点F2为满足条件的点， 在Rt△OPF2中，sin∠POF2=∴OF2=∴PF2=OF2=∵PF1∥OQ，
=
， ，
，
∴∠OPF1=∠POQ=30°， ∴∠OPF1=∠POF1=30°， ∴OF1=PF1=PF2， ∴OF1=
，
综上所述，OF的长为或．
【点评】本题考查了几何变换题：熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质；记住含30度的直角三角形三边的关系；提高运用题中的结论解决问题的能力．
25．（10分）（2016秋•西青区校级期中）已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c． （1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式即可解决问题． （2）利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．
（3）设P（m，n），则Q（n，m），列出方程组，求出m与n的关系，得到关于n的方程，根据判别式大于0，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有交点， ∴b2﹣4ac≥0， ∴36+4c≥0，
∴x≥﹣9．
，
（2）∵x1+x2=6，x1x2=﹣c， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=36+2c=26 ∴c=﹣5．
（3）∵△OPA≌△QOB， ∴OA=BQ，AP=OB，
∴可以设P（m，n），则Q（n，m）
将P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得：①﹣②得：n2﹣m2+6m﹣6n=n﹣m ∴n2﹣m2+7m﹣7n=0， ∴（n﹣m）（n+m﹣7）=0， ∴m=n或m=7﹣n， ∵m，n不相等， ∴m=7﹣n，
将m=7﹣n代入①得：n2﹣7n+7﹣c=0， ∵b2﹣4ac＞0，
∴49﹣4（7﹣c）＞0， c＞﹣
．
【点评】本题考查二次函数综合题、根与系数的关系、方程组等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会利用参数，构建一元二次方程解决问题，属于中考压轴题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容