高中数学基本不等式的证明(2)

教学目标

（1）进一步掌握基本不等式；

（2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

教学重点，难点

基本不等式的灵活运用。

教学过程 一．问题情境 1．情境：

（1）复习：基本不等式；

111（2）练习：已知a,b,cR,abc1，求证：9

abc

2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。

二．建构数学

已知x,y都是正数，

①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；

1②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值s2．

4xy证明：∵x,yR， ∴ xy，

2

xy①当xyp (定值)时，p ∴xy2p，

2∵上式当xy时取“”， ∴当xy时有(xy)min2p；

s1②当xys (定值)时，xy ∴xys2，

241∵上式当xy时取“” ∴当xy时有(xy)maxs2．

4

说明：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

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三．数用 1．例题：

例1．（1）求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0 logx100 于是lgxlogx102lgxlgx102，

当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立， ∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10．

（2）若上题改成0x1，结果将如何？

解：∵0x1 lgx0 logx100，于是(lgx)(logx10)2，

1从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x．

10

例2．求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

x4x解：∵0x4，∴x0,4x0，∴x(4x)2

2则yx(4x)4，当且仅当x4x，即x2(0,4)时取等号。 ∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

1例3．若x1，则x为何值时x有最小值，最小值为多少？

x1

111解：∵x1， ∴x10， ∴=x10，∴x1

x1x1x11112(x1)1211，当且仅当x1即x0时(x)min1

x1x1x1

11例4．若x2y1，求的最小值。

xy11x2yx2y2yx2yx123()322 解：∵x2y1，∴xyxyxyxyx212yxy，即当且仅当x22时取等号，

yx2y12用心 爱心 专心 116号编辑

∴当x21,y2211时，取最小值322 2xy

2．练习：（1）若ab1,a0,b0，求ab的最值； （2）下列函数中，最小值是2的是 （ ）

1(A) yx (B)ysinxcscx，x(0,)

x2x22x23 (D)y (C)y22x1x2四．回顾小结：

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式； （2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将条件整体代入。 五．课外作业：课本P90 4 ， P93 习题3 .4 4

1补充：1．已知0x1,0y1,xy，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。

93342．已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

x3．已知0x2，求函数f(x)3x(83x)的最大值，并求相应的x值。

114．已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

xy

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