陕西省2017年中考数学真题试卷和答案
陕西省2017年中考数学真题试卷和答案
一、选择题（每小题3分，共30分）。
121．计算：（﹣）﹣1=（ ）
2513
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0
444
2．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55°
B．75°
C．65°
D．85°
第2页（共24页）
5．化简：
𝑥𝑥−𝑦
﹣𝑦𝑥+𝑦
，结果正确的是（ ）
A．1 B．
𝑥2+𝑦2𝑥2−𝑦2 𝑥−𝑦C． D．x2+y2
𝑥+𝑦
6．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3
√3
B．6 C．3
√2
D．
√21
7．如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
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3√103√103√5√10A． B． C． D．
2555
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5 B．
5√3 C．52
√2
D．5
√3
10．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
二、填空题（每小题3分，共12分）。11．在实数﹣5，﹣
√3，0，π，√6中，最大的一个数是 ．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为 ．B.
3
．（结果精确到0.01）
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√17tan38°15′≈
13．已知A，B两点分别在反比例函数y=
3𝑚𝑥
（m≠0）和y=
象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为 ．
2𝑚−55
（m≠）的图𝑥2
14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题： 15．（5分）计算：（﹣
√2）×√6+|√
1﹣1
3﹣2|﹣（）．
2
𝑥+32
16．（5分）解方程：﹣=1．
𝑥−3𝑥+3
17．（5分）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
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18．（5分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 区间内；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）
19．（7分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
20．（7分）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军
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很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）
21．（7分）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．
最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
成本（元/每棚）
项目 香瓜 甜瓜
品种
产量（斤/每棚）
销售价（元/每斤）
12
4500
2000 3 5000
8000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
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根据以上提供的信息，请你解答下列问题：（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．
22．（7分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
23．（8分）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
24．（10分）在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
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（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
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如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交𝐴𝐵于点E，又测得DE=8m．
̂
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
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答案
一、选择题（每小题3分，共30分）。1．C 2．B．3．A．4．C．5．B
6．A．
7．解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），∴﹣2k+b=0，
∴
{𝑦=𝑘𝑥+2𝑘 {
𝑥=𝑦=
4−2𝑘𝑘+2
8𝑘𝑘+2
𝑦=−2𝑥+4
解得
∵直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，
4−2𝑘
∴
{𝑘+28𝑘
𝑘+2
＞0
＞0
解得0＜k＜2．
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故选：D．
8．解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE=
√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√32+12=√10，
11
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，223√10∴BF=．5
9．解：连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，
第12页（共24页）
∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，
5√3√3×5=，22
则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=
∴AP=2PD=5故选D．
√3，
10．解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
二、填空题（每小题3分，共12分）。11．π．
12．解：A、∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，
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∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
11
∴∠1=∠ABC、∠2=∠ACB，
22
111
则∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=64°，
222
B、
√17tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
3
13．解：设A（a，b），则B（a，﹣b），
3𝑚𝑎
2𝑚−5，𝑎
依题意得：
{
𝑏=
−𝑏=
3𝑚+2𝑚−5所以=0，即5m﹣5=0，
𝑎
解得m=1．
14．解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD=∠BCD=90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，
∴∠BAM=∠DAN；
在△ABM与△ADN中，∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝑁
{∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐴𝑁𝐷，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
第14页（共24页）
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；∴2λ2=36，λ2=18，
三、解答题
√12+2﹣√3﹣2
15．（5分）解：原式=﹣=﹣2=﹣3
√3﹣√3 √3
16．（5分）解：去分母得，（x+3）2﹣2（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，移项，系数化为1，得x=﹣6，
经检验，x=﹣6是原方程的解．
17．（5分）解：如图，点P即为所求．
第15页（共24页）
18．（5分）解：（1）本次调查的总人数为10÷5%=200，则20～30分钟的人数为200×65%=130（人），D项目的百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，补全图形如下：
（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，则其中位数位于C区间内，故答案为：C；
（3）1200×（65%+20%）=1020（人），
答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．19．（7分）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．∵AE=CF，∴DE=DF，
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𝐴𝐷=𝐶𝐷
在△ADF和△CDE中∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸，
𝐷𝐹=𝐷𝐸
∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE，
{
∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐺𝐶𝐹
在△AGE和△CGF中，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐶𝐺𝐹，
𝐴𝐸=𝐶𝐹
∴△AGE≌△CGF（AAS），∴AG=CG．
{
20．（7分）解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，
在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，
∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x=
0.7
，解得x≈34（米）．
𝑡𝑎𝑛24°−𝑡𝑎𝑛23°
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
第17页（共24页）
21．（7分）解：（1）由题意得，
y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x）=7500x+68000，
（2）由题意得，7500x+6800≥100000，∴x≥4
，
15
4
∵x为整数，
∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．22．（7分）解：（1）由题意可得，
21小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：=，421
即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是；2
（2）由题意可得，出现的所有可能性是：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、
第18页（共24页）
（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），
．
16
3
∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：23．（8分）解：（1）连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC
5√32
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=
∴AC=2AD=5
√3
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA
第19页（共24页）
24．（10分）解：
（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a=1，n=﹣3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=﹣1，∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；
（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，∴AB只能为平行四边形的一边，∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，∴PQ=4，
第20页（共24页）
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，
2
∴t﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）．
1125．（12分）解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=AC=×12=6，
22
∵O是内心，△ABC是等边三角形，
11
∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，22
𝐴𝐷𝑂𝐴
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=
√3∴OA=6÷=42
，
√3，
故答案为：4
√3；
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，
第21页（共24页）
过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=
√𝑃𝑀2+𝑀𝑄2=√122+122=12√2；
̂
（3）如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，𝐴𝐵是劣弧，
∴𝐴𝐵所在圆的圆心在射线DC上，
̂
1
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=AB=12，
2
在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，
1
∴AB•MN=96，2
1
×24×MN=96，2
∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
𝐷𝐶𝐴𝐷∴=，𝑀𝑁𝐴𝑁𝐷𝐶12∴=，818
∴DC=
16
，3
第22页（共24页）
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交𝐴𝐵于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在𝐴𝐵上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，
̂
̂
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=
√𝑀𝐻2+𝑂𝐻2=√32+62=3√5，
， √5+13≈19.71（米）
∴MF=OM+r=3
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
第23页（共24页）
第24页（共24页）
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