高等光学习题

一、光的电磁理论、傅里叶分析 （一）思考题

1.1.指出周期函数和非周期函数的频谱有何区别，实函数和偶函数

的频谱有何特点，原函数的有效宽度和频带宽度之间的关系。 1.2. 光场按线性系统的本征函数展开的物理意义及其好处？分别

写出坐标算子x和梯度算子-i的本征解和正交性（分连续和分立两种情形）。

1.3. 光场用复数表示的好处及其适用条件？

1.4. 解释空间频率、角谱以及光场用平面波角谱展开的物理意

义。如何理解衰逝波(非均匀平面波)和全反射的古斯-汉欣位移?

1.5. 平面波的波矢k是复数时表示何物理意义? 在什么情况下k是复数?

1.6.如何理解点源含有最丰富的信息，平面波不带任何信息？ (二)习题:

1.1.证明平面波的平均能流密度为

1SRe(E0(r)H0(r)] 2 1

式中E0(r)和H0(r)分别是电矢量和磁矢量的振幅。 1.2.求准单色波列的频谱. 1.3.求准单色光振动

f(t)Aexp[(tt0)22]exp[j(20t0)]

的频谱分布。

1.4.证明近轴近似下的球面波的空间频谱

F.T{exp[jk222(xy2)]}jzexp[jz(fxfy)]2z

1.5.证明两个高斯函数的卷积仍然是高斯函数。 1.6.证明两个洛伦兹函数的卷积仍然是洛伦兹函数。

二.标量衍射理论. 成像系统的频谱分析 （一）思考题:

2.0.什么叫标量衍射理论? 条件, 适用范围? 并简要说明理由。 2.1.说明卷积的展宽性质和谱函数的性质及其光学意义。 2.2.说明按平面波展开的衍射积分公式的物理意义并将公式写成入

射波和某个函数的卷积形式, 该函数的的物理意义是什么？在自由空间中，点扩展函数，传递函数，本征函数和本征值之间是怎样的关系？

2

2.3.说明衍射光栅的三要素和光栅光谱仪的三个指标的意义, 光栅光谱仪与F-P光谱仪的异同。

2.4. 说明基尔霍夫公式的物理意义并将公式写成入射波和某个函

数的卷积形式，该公式与按平面波展开的衍射积分公式是否等价？

2.5. 在菲涅耳近似中,试解释λfx = cosα～ (x-x0)/z << 1的物

理意义，将菲涅耳衍射写成卷积形式，与基尔霍夫公式的卷积形式相比较能得出什么结论。

2.6. 写出夫朗和费衍射的条件和举出几种实验观察方法并说明夫

朗和费衍射的实质。

2.7. 试分析正弦振幅光栅衍射的特征，当光栅周期d  时，

（超高频）衍射的特征如何？怎样理解被探测物的精细结构以波长为极限？

2.8.为什么图象经放大后变不清晰？

2.9.试分析大量全同孔径夫朗和费衍射的特征以及轴外点的光强分

布特点。

2.10.平面波和点光源是最基本的光学函数模型，怎样理解前者不携带光学信息而后者含有最丰富的光学信息？为什么我们无法通过光学仪器准确测量平面波的角谱或者被测点光源本身？

3

2.11.带限函数的定义？取样定理的内容及其光学模拟.为什么取样

定理的形式不是唯一的？成像系统空间带宽积的意义? 2.12.比较衍射受限系统的相干传递函数和光学传递函数的区别和联系。

(二)习题:

2.1.证明发散球面波的夫朗和费衍射是会聚球面波, 且满足物象关系(近轴近似适合于菲涅耳衍射, 也是高斯光学的前堤)。 2.2.用波长=5000A的单色光垂直照射焦距f=25cm的透镜, 在透镜前放入一遮光圆屏,圆屏中心在光轴上。

(1)若在焦点F处放置观察屏, 求屏上振幅分布和强度分布及衍射图样中心强度与不加屏时中心强度之比;

(2)α0是透镜在F点所张的角半径, α1是屏在F点张的角半径。若α

0

=2α1, 问第一暗环的直径多大?

2.3.就以下两种情况, 求二维矩形光栅(矩形通光孔尺寸a×b, a方向的光栅常数为d1, 缝数为N1, b方向的光栅常数为d2, 缝数为N2)的夫朗和费衍射 (1)用平面波垂直照明;

4

(2)用沿x-z平面并与z轴成α角的平面波照明。

2.4.N个全同椭圆孔沿其长轴方向等间隔地排列,椭圆孔的长轴为a, 短轴为b, 中心间隔为d。在夫琅和费衍射条件下, 求衍射光强在过衍射图样中心, 且与孔心线相平行的直线上的分布。 2.5.(1)设z=0平面上的透射函数为

22F(,)Aexp[]20

求在z取任意值的平面上的衍射复振幅分布;

(2)证明当z值很大时, 在靠近z轴处, (1)中得到的衍射波的等相面可近似视为半径

R(z)z[1k24z2040]

的球面。

(本题所计论的衍射问题, 也就是高斯光束的传播情况。)

三. 光的干涉 部分相干光理论 (一)思考题:

3.1.说明准单色扩展光源所产生的干涉条纹的特点，解释当准单色均匀扩展线光源的线宽 P = D / d 时杨氏干涉条纹可见度为零。

3.2. 说明准单色点光源所产生的干涉条纹的特点，

5

3.3. 空间相干性和时间相干性指的是什么？如何量度？光源的角宽度和相干孔径角是如何定义的？证明相干长度 Lc = /。 3.4.描述热光源的特性和部分相干光理论的方法。 3.5.说明V (P,t )和KV (P,t-ρ/c)的物理意义。

3.6.说明互相干函数Γ12(τ)和互谱密度G12(ν)的物理意义。如何

利用杨氏干涉条纹测量准单色波场某二点之间的复相干度12(ν)?

3.7.考虑两个中心频率分别为ν1和ν2的准单色光之间的干涉, 问观测时间必须短到什么程度才能测得干涉条纹?

3.8.说明互强度J (P1, P2)的物理意义, 如何用它来描述准单色光的干涉定律?

3.9.为什么严格意义上的完全非相干场不存在？如何定义初级非相干光源? 为什么对于初级非相干光源尖锋函数的形式无关紧要? 3.10.如何描述一个较为实际的相干场?

3.11.如何理解激光具有良好的时间相干性和空间相干性？ 3.12.(1)当把一单色点光源放在一会聚透镜物空间焦点上, 观察屏与透镜空间焦面重合, 则观察到夫琅和费圆孔衍射图样。现在将光源换为圆状准单色初级光源, 圆中心在光轴上, 圆面垂直

2

6

于光轴, 要想仍获得夫琅和费圆孔衍射图样, 对光源大小。频宽以及透镜直径应有什么?

(2)在衍射计实验中, 光源不是单色点光源, 但仍引用夫琅和费圆孔衍射的结果, 即取

I(1)(Q)I(2)(Q)(2J1(u)2),uu2asin

根据(1)的结果, 试说明为什么可以如此处理? 3.13.为什么要研究部分相干光的成象?

3.14.如何从Shell定理导出单色光的夫朗和费衍射？当照明所具有

的相干面积远小于孔径时，衍射强度如何？试说明理由。 3.15.说明相干照明和非相干照明的近似条件。

3.16. 对相干性极好的激光，相干时间可以大于探测器的响应时间，互相干函数如何定义？

3.17. 互强度是如何引入的？为什么用它描述准单色近似下的相干性问题？在准单色初级光源内相干尺度多大？在此光源（面积AS）的辐射场中的近轴范围内相干尺度多大？

3.18. 利用非相干照明情况下输出强度和输入强度成线性写出杨氏干涉装置的点扩展函数及输出与输入强度的关系。 3.19. 二阶相干性的概念及其与一阶相干性的关系？

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(二)习题:

3.1.已知太阳的表观角直径为0.5。平均有效波长为6000A, 求阳光的相干面积。

3.2.用两个相距很近的.互不相干的点光源S1和S2照射杨氏实验中的双缝, 在什么样的条件下观察屏上的照度等于4I0? I0是在遮住一个缝的情况下,S1或S2单独在屏上产生的照度。

3.3.波长为6328A的红色激光,其波长宽度Δλ=2×10A, 试计算其频宽。相干时间和相干长度.

3.4.在迈克尔逊干涉仪中, 用钠光灯为光源, 在干涉图样两次消失之间, 平面镜移动 0.2mm。试计算两条钠谱线的波长差(其中一条谱线的波长λ=58.95A)。

3.5.一个直径为d的发光面元, 所发出光的平均波长为λ, 如果用干涉孔径角量度的话,其空间相干性是多少弧度? 如果用相干面积量度, 距光源 nd 远处的相干面积多大?

3.6.如图(1)所示的用迈克尔逊双星干涉仪测量双星的角直径。整个装置的轴与其中一个星体发出的光平行, 来自另一个星体的光线与装置成一角度θ,到达光的光程M1M3S1=M2M4S2, 假定星体的光是一很窄的线宽, 其中心在波长λ0附近,轴向星体在S1和S2产

-7

8

生的扰动是同相的。试说明如何测量角θ(利用图中已知尺寸h,

a 。) Fig.1

3.7.一FP腔的反射率R=0.98,腔内介质的折射率1.55,厚4cm,用拓展光源做实验,波长0.6微米.问: (1)中心干涉级数是多少?

(2)在倾角1附近干涉圈的半角宽是多少?

(3)色分辨本领有多高?可分辨最小波长间隔有多少?

(4)如果用它对白光进行选频,透射最强的谱线有多少条,波长各为多少?每条谱线的宽多少?

(5)由于热胀冷缩,引起腔长的改变量为10(相对值),谱线的漂移量为多少? 3.8.证明

-5

Aexp(i2t),V(t)0,tt1/2tt1/2

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的复相干度为

()(1t1)exp(i20)

3.9.阻尼振子的辐射场中某点复扰动为

Aexp(t/t1)exp(i20t)V(t)0式中t1是自发辐射寿命。 （1）求频谱；

（2）证明P点的复相干度为

()exp(/t1)exp(i20)

t0t0

3.10.用λ=6000A(Δλ=0.1A)的准单色扩展光源照明杨氏双孔。r1=29.97cm, r2=30.00cm。只开P1孔时I(1)(Q)=I0, 只开P2孔时I(2)(Q)= 4I0, 两孔都开时 I(Q)=6I0, Q点的条纹可见度V(Q)=0.4。求μ12= ?

Fig.2

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3.11.在杨氏双缝干涉实验中, 用与双缝平行的准单色(λ=0.55μm)带状光源照明, 光源到双缝所在平面的垂直距离为1m, 双缝间距2mm。设光源均匀发光, 且其长度比宽度大得多。

(1)用范西特—泽尼克定理求两缝P1和P2的互强度J(P1, P2)及复相干因子 μ(P1,P2);

(2)求观察屏上中点附近的可见度。当要求可见度大于0.9时, 求光源的最大宽度.

3.12．用范西特-泽尼克定理解习题1.9。

3.13.证明正薄透镜对于在前后焦面上的互强度构成一个四维傅里叶变换对。

3.14.把衍射计中的圆孔σ换成边长为b的正方形小孔, 并使其一组对边和掩模上两孔P1和P2的边线平行, P1和P2仍保持为圆。求 (1)观察屏F上光强分布的表示式;

(2)光源沿哪个方向扩展会影响F上干涉条纹的可见度? 光源线度增加到多大时,可见度降为零?

3.15.在图(3)中δ与图面垂直的、均匀的、准单色带状初级光源, 其宽度e=5mm, 平均波长λ=5000A, l=10m, P1、P2是与光源平行的无限窄狭缝, P1、P2所在平面与透镜L的前焦面重合.L是柱

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面透镜, 其焦距f=40cm, 宽度2a=2cm, 在L的后焦面上放置观察屏σ。

Fig.3

(1)双缝前面的互强度;

(2)双缝后面的互强度J(x1,x2); (3)σ上的光强I(x`); (4)求刚可被分辩的距离离d。

*3.16.一宽为e的带状光源, 通过一同轴的柱面聚光透镜L1照明物

体, 物体经一同轴的薄柱透镜L2成象, 两柱透镜L1、L2的母线均与光源平行(即垂直图面), 如图4所示。

Fig.4

(1)求物面和象面互强度J0(x0,x0')和J1(x1,x1')的表示式。 (2)如果在物面放一余弦光栅, 其透射函数F(x0)=cosf0x0, 求透射交叉系数, 象面强度分布I1(x1)和对频谱的。

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四. 晶体光学.电光.磁光和声光效应 (一)思考题:

4.0.说明光学示性面、矢径和法线的物理意义？主轴的意义和求法 4.1.在晶体内的平面波为

EE0exp[i(tsrnfr)]

能否写成

EE0exp[i(tf)]

4.2.说明在菲涅耳公式中的主折射率和主传播速度的物理意义, 可

否把它们看着是某个真实速度的三个分量?

4.3.详述波法线椭球,详述法线面。光线面和折射率曲面各自的定义, 它们之间的联系和区别以及它们各自的用处。

4.4.已知晶体的折射率椭球, 并给定波矢和场强E的大小,试详述如何确定D、E、H、S。

4.5.如何理解双轴晶体的法线轴所属的光线圆锥以及光线轴所属的法线圆锥。

4.6.双折射的两条光线是否是一对正交本征模?

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4.7.光在各向同性媒质和各向同性媒质分界面上发生反射时, 什么情况下遵守反射定律? 什么情况下不遵守反射定律? 在不遵守反射定律时, 如何确定反射线的方向? 4.8.判断下列晶体的正负单轴性。

4.9.光沿单轴晶体主截面入射到空气和晶体的分界面上, 试导出折射光和反射光振幅所满足的菲涅耳公式。

4.10.为什么说旋光介质本征态 J 表示长短轴在其主轴上的左右旋椭圆偏振光?这对本征态有何特征？ 4.11.描述琼斯矢量为

1,3i1,1i1i.

的波的偏振态, 并找出以上各种矢量的正交琼斯矢量, 且描述其

偏振态。

(二)习题:

4.0.证明 D(n)E(n) = 0 ( m  n ) 4.1.*(1)证明D和E的离散角为

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tg24vn[(sxsz222)()()]222222vnvxvnvyvnvz

1sy(2)对于单轴晶体, 证明

2sincos(ve2vo)tg222vesinvocos2 2式中θ表示波法线与光轴的夹角;

(3)证明在单轴晶体中,当θ满足tgθ= ne/no时, 离散角达最大

值。

mtg1221none()2none

(4)对钠黄光方解石的no=1.658, ne=1.486, 求方解石晶体中光线

和波的最大夹角。 4.2.对双轴晶体,当x < y < z 时,导出确定光线光轴方位和光线速度的公式。 4.3.有一块主折射率no=1.5246, ne=1.4792的电光晶体, 厚度

d=1mm, 晶体的轴与其表面成45角, 波长λ=5000A的自然光正入射到晶体上, 求

(1)分别用波矢面法和光线面法作出折射光线和波法线的传播方向以及偏振方向;

(2)晶体内o光和e光传播方向的夹角; (3)o光和e光的折射率; (4)o光和e光的光线速度;

(5)o光和e光从晶体后表面射出时的相位差。

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*4.4.光从空气以入射角θ1射到单轴晶体表面, 晶体的光轴在入射面内, 且与界面的夹角为, 晶体的主折射率为no和ne, 分别用波矢面法和光线面法作出折射光线,证明晶体中非常光的传播方向由下式给出

tgtnonen1sin122(ne2sin2nocos2)(ne2sin2nocos2n12sin21)1/22(none2)sincos222nesinnocos2

根据以上结果讨论几种特例:(1) =0; (2) =90; (3)θ=0; 4.5.证明沿单轴旋光晶体的光轴传播的线偏振光的偏振方向经晶体

后旋转角为(9.7-25)。 4.6.求下图中光线的出射方向

4.8.试求以下问题的本征值和归一化本征函数并说明其物理意义。 (1)光沿纵调制KDP晶体的主轴传播； (2)光沿横调制LiNbO3晶体主轴传播； (3)光沿单轴旋光晶体的光轴传播。

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付里叶分析 光的电磁理论 二.标量衍射理论 五.成像系统的频谱分析 三.部分相干光理论 四.晶体光学 七.全息术 六.光学信息处理 四.电光和声光效应

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