基于稀疏模型的图像去噪算法研究

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2019.08.133

2019 NO.08Science and Technology Innovation Herald科技创新导报基于稀疏模型的图像去噪算法研究

张莉 朱茜

(河南省气象探测数据中心（河南省气象档案馆） 河南郑州 450003)

①

摘 要：引入稀疏编码思想实现对数据信息的最优非线性逼近，在图像去噪方面已取得较好的实验效果。本文对图像去噪模型进行分析，介绍了稀疏编码思想实现图像去噪的原理，并对经典的稀疏去噪模型进行对比与分析。最后，基于稀疏模型对去噪算法进行分析，提出了稀疏模型在其他研究领域的展望。关键词：稀疏编码 字典学习 自相似性 非局部 图像去噪中图分类号：TP751.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2019)03(b)-0133-03Abstract: The sparse coding can achieve the optimal nonlinear approximation of data information, and has achieved good experimental results in image denoising. This paper through analyze the image denoising, introduce the principle of image denoising by sparse coding, and understand and analyze the classical image denoising methods based on the sparse model. Finally, based on the sparse model, the denoising algorithm is analyzed, and the prospect of sparse model in other research fields is proposed.

Key Words: Sparse coding; Dictionary learning; Self-similarity; Nonlocal; Image denoising

图像是视觉的基础，是自然景物的客观反映，是我们社会活动中最常用的信息载体。据统计，一个人获取的信

[1]

息大约有75%来自视觉。图像可以直观、生动地显示出客观事物的具体信息，随着各种数码产品和数字仪器的普及，图像以其快捷的优势，已成为我们获取外界原始信息的主要途径。然而在图像的获取、传输和存贮过程中时常会受到外界干扰或者自身因素影响而使图像降质，掩盖了图像的真实信息，给我们的后续工作带来了一定困扰。

图像去噪借助于现代数字信号处理技术尽可能的保持图像原始信息完整性（即主要特征），又能够去除信号

[2]

中的干扰信息。图像去噪算法多涉及数学方法，比如概率论、数理统计、偏微分方程等。图像去噪领域，稀疏表示模型具有较好的理论完备性和图像去噪效果，受到了国

[3-6]

内外很多研究学者的关注。

那么，解的个数就完全由J(x)确定。如要保证唯一性，则要求J(x)是严格凸的。通常设定J(x)=x2，用拉格朗日乘子法对其求解，定义拉格朗日函数L(x)。

式中λ是约束型拉格朗日乘子。式(2)对x进行求导，

L(x)=x2+λT(Dx−b) (2)

22∂L(x)=2x+DTλ∂x (3)

得

代入Ax=b中，

ˆopt=−DTλ. (4)x21−11ˆopt=Dx−DDTλ=b⇒λ=−2(DDT)b (5)

2代入式(4)，得

ˆopt=x−DTD=DT(DDT)b=D+b. (6)

12−11 稀疏编码

稀疏编码（Sparse Coding）最早出现在20世纪Stephane Mallat和张志峰的研究中[7]，文章也首次提出“字典”的概念。紧接着，Scott Shaobing Chen等人基于图像块，提出用范数对图像的稀疏性进行客观评估。对自然图像中的信息提取、特征保护、图像恢复等问题的有效解决具有重要的理论现实意义与实践应用价值。

在现实生活中，图像x经过一系列外界干扰，退化成图像y，在具体研究过程中，我们的目标是对退化图像y进行研究分析，找到合适的方法使其复原接近于原始图像x，同时又要保证解的唯一性，稀疏编码思想给我们的实践研究提供了一个新思路。假定字典D，图像目标列b，通常采用规则化方法进行优化：

J(x)subjecttob=Dx (1)(PJ):minx这里，矩阵D是满秩矩阵，矩阵DDT是正定矩阵，因此该优化过程是可逆操作。

基于稀疏编码的图像去噪方法，首要任务是对数据信号进行采样，同时对其进行稀疏编码，算法模型的建立可概括为两类：基于合成（Synthesis-based）建立稀疏模型[8]、基于分析（Analysis-based）建立稀疏模型[9]。前者是由于数据信号本身具有稀疏性，所以假定图像的每一个图像块都可以用一个稀疏向量表示出来，并且该向量中绝大多数元素都是零，且数据信号越稀疏其稀疏向量中的原子接近零或者等于零的个数就越多。对图像构建学习字典D∈Rn×m，利用式(6)分别获取每一图像列的最优解。而基于分析建立稀疏模型，则是对图像进行

①基金项目：中国气象局河南省农业气象保障与应用技术重点实验室应用技术研究基金项目（项目编号：KQ201917）。

作者简介：张莉（19—），女，汉族，河南郑州人，硕士研究生，助理工程师，研究方向：图像去噪、稀疏与低秩。 朱茜（1986—），女，汉族，河南郑州人，硕士研究生，工程师，研究方向：气象信息化。

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(10)

式中，Ui是所有与图像块ui相似的非局部图像块集合矩阵，W是一种转换操作。算法在实现过程中只需要两次迭代即可获得目标函数的最优解，以其高效性被广泛应用。

（2）K-support算法[14]为：

Fmin{Λi}∑iUi−WΛi2+λΛi1 图1 字典学习模型构造示意图

表1 σ=50时图像Barbara分别不同去噪算法所得PSNR结果算法

基于图像块的块匹配的3D收缩算法(BM3D)非局部稀疏模型算法(LSSC)

基于图像块的学习模型算法(EPLL)

非局部中心化稀疏表示的去噪算法(NCSR)加权核范数最小化图像去噪算法(WNNM)基于图像块的非局部自相似优先去噪算法(PGPD)

PSNR [dB]27.2327.0324.8326.9927.7926.81

1minu−fu22+α1(2∇uxsp2k)+α2(2∇uysp2k (11))式中，∇ux、∇uy是图像在水平方向、垂直方向上的梯度，f是观测图像，α1、α2是非负正则化参数。该算法是基于k-support范数的图像去噪模型，将k-support范数引入图像梯度域作为正则化项，使得该图像去噪模型中的稀疏解的非零元具备一定关联性，进而取得较好的图像去噪效果。

（3）组稀疏模型算法[15]为：式中，f是观测图像，α是非负正则化常数，⋅G用于约束图像在水平方向和垂直方向上的两个梯度∇ux、∇uy。该模型利用图像边缘信息具有连续性且梯度较大这一特性，构造组稀疏正则化算子⋅G，在图像梯度域选取邻近k个点组成一组，既考虑了图像内部稀疏特性又兼顾了图像边缘连续性，这样构造出来的⋅G就包含了图像的部分先验知识，该模型在图像去噪方面有较好的表现效果。

1minHu−fu222+α∇ux(G+∇uyG (12))分类、建组，利用类、组信息的非局部自相似性进行稀疏求解。具体实验过程中，根据不同需求情况，分析算子可以有多种形式，比如卷积、投影、求导、Curvelet、小波变换等。

2 经典算法分析

2.1 基于合成的稀疏模型

（1）K-SVD算法[10]的目标函数为：

min{D,Λ} || U-DΛ|| s.t. ||Λ ||0≤T ≤T (7)

2F3 质量评价方法

图像去噪算法的量化指标和性能评价方法很多，但是相比于图像质量评价的主观方法，客观评价方法基于相关数学模型，在实验研究中更有利于对算法进行评价。我们常见的评价方法有均方差（Mean Squared Error，MSE）、相对误差（Relative Error，RE）、信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）、结构相似性（Structural Similarity，SSIM）[16]、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）[17]和实时性等。假设原始图像X，复原图像Y，图像大小m×n，则：

作为经典的学习字典算法，K-SVD根据最小误差原则，有效解决了高维矩阵求解问题，通过对误差项进行SVD分解，选择使误差最小的分解项作为更新的字典原子核对应的原子系数，经过不断迭代从而得到最优解。式中，U是图像的所有图像块集合，D是对图像块进行学习获得的过完备字典，Λ是稀疏编码系数。K-SVD算法中字典D进行迭代学习更新，并利用字典D和系数Λ对图像块进行降噪处理。

（2）CSR算法[11]目标函数为：

2min{α}∑iui−Diαi2+λαi1+γαi−µi12 (13)1m−1n−1 =(8)MSEX(i,j)−Y(i,j)∑∑m×n=将图像分成固定大小的图像块，以该图像块的位置坐i0=j0标为中心、以该图像块对应的灰度值为目标，在中心块中式中(i,j)表示图像像素点的位置。MSE值越小，原始图去寻找相似图像块进行聚类学习。式中，Di是对图像块ui像与复原图像之间的差异就越小，算法的实现效果也就进行聚类后学习获得的PCA特征字典，μi是对稀疏系数αi越好。

X−YRE(X,Y)=的近似估计。算法利用PCA特征字典对图像块进行稀疏编 (14)X码，非相关图像块对应的稀疏系数项统一设为0，使得目标相对误差是绝对误差与真值的比值，结果以百分比形函数在l1范数的稀疏编码过程更加快速，从而提高了算法式展现，更能反映测量的可信程度。

X的迭代收敛速度。 (15)SNR=10lg[12]X−Y（3）PGPL算法的字典构造模型为：

3pNM2T=min∑∑yn,m−Dαn,m2+∑λjαn,m,js..t=D[DEDI],DDI(9)峰值信噪比是较为常用的图像质量评价标准，可以用i2222222DI,{αn,m}=n1=m1=j1式中，正则化特征字典D由字典DE、DI合并而成，其中，

DE用于保护图像的特征信息，由自然干净图像学习字典的前r个特征值构建而成，图像DI由噪声图像学习获得，以补充图像的个体化特征信息。2.2 基于分析的稀疏模型

（1）BM3D算法[13]的目标函数为：

于判断算法是否有改善图像质量的目的。其反映的是信号

中有效成分与噪声成分的比例关系，数值越高表示图像质量越好。

(16)

式中max(X)表示图像X中点颜色的最大值。

SSIM(X,Y)=(2uXuY+(Lk1)2)(2σXY+(Lk2)2) (17)2222(uXuY+(Lk1)2)(σX+σX+(Lk2)2)PSNR(X,Y=)10⋅lg(max(X))2MSE134

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基于结构相似性的度量准则可以从两幅图像的结构特征判定算法的优劣，其结果更符合人类的视觉特征，更接近人类的视觉观察。式中，uX、uY分别是图像X、Y的平

2019 NO.08Science and Technology Innovation Herald科技创新导报CVPR, 2006:5-900.

[11]Weisheng Dong, Xin Li, Lei Zhang, et al. Sparsity-based Image Denoising via Dictionary Learning and

2Structural Clustering[C].CVPR,2011:457-4.均值；σX是图像X、Y的方差；σXY是图像X和Y的协

方差；k1、k2是分母的非零常数项；L是图像最大灰度值。[12]Jun Xu, Lei Zhang, David Zhang. External Prior Guided

Internal Prior Learning for Real-World Noisy Image 4 结语

Denoising[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 基于稀疏编码思想，图像去噪问题转化为稀疏残差优

2018,27(6):2996-3010.化问题。近年来的经典算法有：BM3D、LSSC[18]、EPLL[19]、

[13]KostadinDabov, Alessandro Foi, Vladimir Katkovnik, NCSR[20]、WNNM[21]、PGPD[22]，实验结果如表1所示。

et al. Image Denoising by Sparse 3-D Transform-基于合成的模型是从学习的角度建立字典，适用于任何类型的图像，但只局限于低维度信号，并且计算复杂度Domain Collaborative Filtering[J].IEEE Transactions 较高。基于分析的模型是从非局部自相似性的角度，适合on Image Processing,2007,16(8):2080-2095.高维图像，但是大多算法只考虑噪声图像的非局部自相关[14]Argyriou A, Foygel R, Srebro N. Sparse Prediction with 先验知识，而忽略了自然图像的非局部自相关信息。毕竟

the k-Support Norm[C].Advances in Neural Information

算法本身是在搜索窗口中进行相似块的匹配，其实质上在

Processing Systems, 2012, 25:1466-1474.

有噪声干扰情况下并不能较好地进行相似块的匹配。

[15]Junli Fan and Xiaowei He, Image processing model 基于稀疏性建立模型对图像进行去噪的研究已经达

with k-support norm. International Journal of 到了相当高的水平，这些方法可拓展应用在图像去模糊、

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