中北大学高数习题及答案

高等数学习题课 第一章 函数与极限

知识点：1、各种极限的求法：等价无穷小的替换，两个重要极限，四则运算法则，无穷小的性质，代入法，罗比达法则。

2、极限存在的充要条件；连续的充要条件；求分段函数在分界点处的极限 3、间断点类型的判断

4、闭区间上连续函数的性质：最值定理，有界定理，介值定理，零点定理 例1：设f(lnx)x2x，x(0,)，求f(x)．

解：令lnxu，则xeu，因此f(u)e2ueu，则f(x)e2xex． 例2：（作业）设f(x)ex,f((x))1x,且(x)0,求(x)的定义域。 解：因为f((x))1x1e22(x)，所以2(x)ln(1x)，(x)ln(1x) ln(1x)0x0从而，x0，从而定义域为xx0或(-,0]

1x0x1例3：（作业）举出满足下列条件的函数的例子

（1）当x0时，f(x)极限存在，g(x)极限不存在，但f(x)g(x)极限存在。

1x0解：f(x)0,g(x)

1x0（2）当x0时，f(x)和g(x)极限都不存在，但f(x)g(x)极限存在。

1x01x0解：f(x) ,g(x)1x01x0例4（作业）：判断题（错误的举出反例）： （1）无穷小与无穷大的和为无穷大；（√） （2）无穷小与无穷小的商为无穷小；（╳）反例limsinx1

x0x（3）无穷大与无穷大的和为无穷大；（╳）反例lim[x(x)]0

x（4）无穷小与有界函数的乘积为无穷小；（√）

1（5）无穷大与有界函数的乘积为无穷大；（╳）反例limsinx1

x0x例5（作业）：证明函数f(x)xcosx在(0,)上无界，但当x时，f(x)不是无穷大．

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高等数学习题课

分析：要证f(x)无界，即证M0，x0(0,)，使得f(x0)M； 要证当x时，f(x)不是无穷大，

首先搞清f(x)是无穷大的定义，M0，X0，当xX时，有f(x)M；

f(x)不是无穷大的定义，M0，对于X0，x0X，使f(x0)M．

证明：先证f(x)无界

M0，取x2([M]1)，则f(x)2([M]1)cos(2([M]1))2([M]1)M 因此f(x)无界； 下面证明f(x)不是无穷大

取M1，对于X0，取x02([X]1)2X，

则f(x0)(2([X]1))cos(2([X]1))01，

22因此当x时，f(x)不是无穷大．

11例6：求极限limn12231．

n(n1)111lim11． nn1nn111111解：原式＝lim1n22334例7：求极限lim(3n13n)．

n解：原式＝limn1n(n1)n(n1)n323n32320．

例8：求极限lim解：原式＝limnnsin(n!)．

nn1sin(n!)nn13230．

111例9（作业）：求极限lim2nn(n1)2(n2)2解：由于01 (2n)2n1111(2n)2n2(n1)2(n2)21n1 20，由夹逼准则知，原式=0．2(2n)n第 2 页

高等数学习题课 例10：求极限lim111nn21n22n2n． 解：由于1nn2n111nn21n22n2nn211

由夹逼准则知，原式=1．

1例11：求lim(12n3nnn)．

1111nnn(12n3n)n3nn11212n12n13n3n1,13n3n13333n3n133n3故，原式=3 例12：limln(1sin2x)limsin2x0ex21xx0x21． 2：求极限lim2cosx例131x2lnsinx． 解：令u2x，则

原式＝lim2sin2x1e(ln2)sin2x1(ln2)sin2x(ln2)x2u0lncosxlimu0ln(cosx11)limu0cosx1limu02ln2 122xtanx例14：求极限limsinxxsinxx0x

sinxxtanxxxtanxxsinx解：原式＝limsinx11xsinxlimsinxxsinxxx0xx01x1e 1xxx例15（作业）：求极限limxabc，(a0,b0,c0)x0． 3axbxcx31axbxcx3axbxcx331x解：limxaxbxcx3x03limx01

3ax下面求limbxcx3x03x

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axbxcx3ax1bx1cx1limlimlimlim x0x0x0x03x3x3x3xexlna1exlnb1exlnc1xlnaxlnbxlnclimlimlimlimlim lim

x0x0x0x03xx03xx03x3x3x3x1 (lnalnblnc)ln3abc 3因此原式＝eln3abc3abc 11x例16（作业）：求极限limln x0x1x111111x11x1x2x2x)2limln()2xlimln()2xlimln(1)2xlnlim(1)2x 解：原式= limln(x0xx0x0x0x01x1x1x1x1xx1x1lim2x122x12x1xxx01xlnlim(1)ln[lim(1)]lne1

x0x01x1x例17（作业）：求极限lim(1ax)1

x0x1n1axan解：原式=lim(0,(1)1等价于)

x0xn1tanxx3（） 例18（作业）：求极限limx01sinx1解：

1tanxsinx1x31sinxtanxsinxx3tanxsinxtan原式=lim（1+）lim[(1+）xsinx]1sinxx0x01sinx1sinx1tanxsinxlim[(1+）x01sinx

例19（作业）：求limx0tanxsinx11sinxlimtanxsinxx01sinxx3]=e31lim2xx01sinxx3e12sinxtanx(1x1)(1sinx1)32

1sinx21x 2解：因为sinxtanxtanx(cosx1)x3312,1x21x,1sinx123第 4 页

高等数学习题课 12x3所以，原式=limx013

23x12x例20（作业）：求lim1xsinxcosxx0sin2x

2解：原式=lim(1xsinxcosx)(1xsinxcosx)1xsinxcos2x04limx(xx0x2(1 2)2(1xsinxcosx)xsinxcosx)4limsinxsinxx1x0xx1xsinxcosx2limsinxxx0x2lim(sinxx0x1)4

sinxxx0例21（作业）：设f(x1)2x0,求limfx1x0x1(x)

sin(t1)tt1sin(x1)x1x1解：设tx1,则f(t)12t1,f(x)2x1

tt1xx1

sin(x1)xlim1f(x)xlim1x11，xlim1f(x)xlim1x1limx1f(x)1

ax2b例22：设f(x)lnxx0,x1，确定a，b，使得f(x)在x1处连续．

2x1解：由于limx1f(x)limax2bx1lnx存在，且limlnx1x0，因此lim(x1ax2b)0，

所以ab0，即ba，代入函数，要使f(x)在x1处连续，

limax2则ax1f(x)limx1lnx2， 第 5 页

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a(x21)a(x21)limlima(x1)2a，则2a2，即a1， 由于limf(x)limx1x1ln(1x1)x1x1x1再由ab0知b1．

例23（作业）：当x0时，x61cosx2axn,求n,a.

x62x6nx6n(1cosx2)1cosx解：由已知得：lim1limalima n22x0x0x0ax1cosx1cosx2x6nlima4limx2na，由于a是存在的某一个非零常数，故n2,a4 x014x0x2例24（作业）：利用单调有界准则求数列x12,xn12xn(n1,2,)的极限。 解：x122,x2222,...,

假设xn2,而xn12xn222，由数学归纳法知，对任意一个n，都有xn2,这说明数列xn有上界2.

又由于xn1xn2xnxn是单调增的。

根据单调有界准则，知数列xn有极限。

设limxna，对xn12xn两边取极限，得a2a,即a2a20，得(a2)(a1)0从

n2xnxn22xnxn(2xn)(1xn)2xnxn这表明数列xn0,所以xn1xn，

而a2或a1，因为xn0，故a2

22xn (n1,2,)，证明例25（作业）：对于数列xn，满足以下条件：1x00，xn1xnxn收敛，并求limxn．

n解：先证xn有界，1xn0 （1）显然1x00；

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高等数学习题课 （2）假设1xn10，下证1xn0，

22 xnxn12xn1(xn11)1，

由1xn10，则0xn111，因此1(xn11)210． 则数列xn有界，且1xn0． 再证xn为单减数列

22xnxn(xn2)，由xn121，则xn1xn． xn1xn综上，xn为单减有界数列，极限存在．

22xn两边求极限得：aa22a，因此a1或a0（舍） 设limxna，对xn1xnn因此limxn1．

n例26（作业）：设f(x)在[a,b]上连续，且acdb,证明：在[a,b]上必存在一点，使得

mf(c)nf(d)(mn)f()

证：由于f(x)在[a,b]上连续lf(x)M,(M为最大值，l为最小值)

lf(c)Mmlmf(c)mM(mn)lmf(c)nf(d)(mn)M lf(d)Mnlnf(d)nMlmf(c)nf(d)mf(c)nf(d) M，由介值定理知，在[a,b]上必存在一点，使得f()mnmn即mf(c)nf(d)(mn)f()

例27（作业）：若f(x)在(a,b)内连续，且ax1x2xnb,则在(x1,xn)内至少存在一点

，使得

f()f(x1)f(x2)nf(xn)

xnb,故f(x)在[x1,xn]内连续，从而f(x)在

f(xn)nM，故

证：由于f(x)在(a,b)内连续，且ax1x2[x1,xn]上必有最大值M和最小值m，因此，nmf(x1)f(x2)mf(x1)f(x2)f(xn)M，由介值定理知，在(x1,xn)内至少存在一点，使得

nf(x1)f(x2)f(xn)f()

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第二章 导数与微分

复习

1、导数定义：

f(x0)limf(x)f(x0)f(x0h)f(x0)lim h0xx0hxx0f(x)limh0f(xh)f(x)

h例1：下列各题中f(x0)均存在，按导数定义，指出A表示什么．

f(x)A，已知f(0)0，且f(0)存在．

x0xf(x0x)f(x0)（2）limA

x0xf(x0h)f(x0h)（3）limA

h0hf(x)f(x)f(0)解：（1）Alimlimf(0)

x0x0xx0f(x0x)f(x0)f(x0(x))f(x0)（2）Alimlimf(x0)

x0x0xxf(x0x)f(x0)xhf(x0h)f(x0) Alimlimf(x0)

x0h0xh（1）limf(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0h)lim（3）Alim h0h0hh limh0f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0) limlimlimh0h0h0hhhh 2f(x0)

例2（作业）：若f(x)为偶函数，且f(0)存在，证明f(0)0．

f(x)f(0)f(x)f(0)令xtf(t)f(0) limlimx0x0t0x0xtf(t)f(0)f(0)，因此f(0)0 limt0t证：由于f(0)limf(x0x(x)2)f(x0)例3：设f(x0)存在，求lim

x0xf(x0x(x)2)f(x0)x(x)2]f(x0) 解：原式=lim[2x0x(x)xf(sin2xcosx)例4：已知f(1)0,且f(1)存在，求lim xx0(e1)tanx第 8 页

高等数学习题课 f(sin2xcosx)f(1sin2xcosx1)f(1)sin2xcosx1原式limlim2x0x0xsin2xcosx1x211f(1)(1)f(1)

22例5（作业）：已知f(0)0,且f(0)存在，求limx0f(1cosx) 2tanx12xf(01cosx)f(0)1cosx1cosx21f(0) 解：原式limf(0)limf(0)limx0x0tanx2x0x21cosxtanx22f(x)例6：设f(x)在x=2处连续，且lim3，求f(2)

x2x2f(x)f(2)f(x)解f(2)lim，由于f(2)limf(x)lim[(x2)]0，

x2x2x2x2x2f(x)f(2)f(x)故f(2)limlim3

x2x2x2x2x2en(x1)axb例7：设f(x)lim，试确定常数a,b,使得f(x)处处可导，并求f(x)

nen(x1)1x1axba1解：f(x)(ab1)x1，f(x)2x22xx1x1

x111(ab1)b1f(1)2 因为要使f(x)在x1处可导，从而也必连续，故有2a2a22故f(x)22xx12x1x12xx1

x1

2、分段函数在分界点处的导数的求法

sinx,例8：设f(x)x,x0x0,求f(0)．

f(h)f(0)sinhlim1 解：f(0)limh0h0hhf(h)f(0)hlim1 f(0)limh0h0hh因此，f(0)1

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在x0处是否可导？

12xsin例9（作业）：判断函数f(x)x0x0x01x2sin0f(x)f(0)1x解：f(0)limlimlimxsin0，因此可导． x0x0x0x0xx

x1例10：判断函数f(x)1ex0x0x0x在x0处是否可导？

解：f(0)limx0f(x)f(0)1elimx0x0xx1x1x0limx011e1x1，

0limx0f(0)limx0f(x)f(0)1elimx0x0x11e1x0，左右导数不相等，不可导

3、可导与连续的关系

x2,x1例11：设f(x)，为了使函数在x1处连续可导，求a,b．

axb,x1解：由f(1)1，得limf(x)lim(axb)ab1， x1x12f(x)f(1)x1limlim(x1)2， 再由f(x)在x1处可导，f(0)limx1h1h1x1x1f(x)f(1)ax(1a)1a(x1)f(0)limlimlima，得a2，则b1． x1h1h1x1x1x1

4、显函数导数的求法

2x1，求f(1)． 32xx12x1x2(x1)arctan312f(x)f(1)xx1解：f(1)lim limx1x1x1x1例12：设f(x)x2(x1)arctan2x12 lim(x1)arctan3 2x1xx14例13：设f(x)在(a,a)内可导，（1）若f(x)为奇函数，则f(x)为偶函数；（2）若f(x)为偶

第 10 页

高等数学习题课 函数，则f(x)为奇函数．

证：（1）若f(x)为奇函数，即f(x)f(x)，因此

f(x)limf(xh)f(x)f(xh)f(x)f(xh)fh0hlimh0hlim(x)h0h 令htlimf(xt)f(x)t0hf(x)，则则f(x)为偶函数；

（2）略．

3例14：设xy2y，u(x2x)2，求dydu． 解：

dydydxdudxdu xy2y两边对x求导：12ydydy1dxdydx，因此dx2y1， 3u(x2x)2两边对u求导：1312(x2x)22xdxdudxdxdu，解得du213x2x2x1因此

dy2du3(2x1)(2y1)x2x． 5、隐函数导数的求法

例15（作业）：利用对数求导法求函数yxsinx1ex的导数．

解：两边取对数得lny1lnx1lnsinx1ln(1ex224)，

x求导得11cosxex两边对yy2x2sinx4(1ex)

因此yxsinx1ex1cosxex2x2sinx4(1ex) 例16（作业）：用对数求导法求函数y(tanx)sinxxx的导数． 解：令y1(tanx)sinx，yx2x，则lny1sinxlntanx，lny2xlnx， 两边分别求导得：

1yycosxlntanxsinx121secxcosxlntanxsecx 1tanx因此，y1(tanx)sinx(cosxlntanxsecx) 第 11 页

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1lnx1，则y2xx(lnx1) y2y2y2(tanx)sinx(cosxlntanxsecx)xx(lnx1) 综上，yy16、参数方程确定的函数的导数的求法

xt22td2y例17：设，求2 2dxy2tt解：

dy4t1， dx2t2d2y4t114(2t2)2(4t1)3． dx22t22t2(2t2)34(t1)3

xln(1t2)d2y例18（作业）：设，求2．

dxt1ytarctant12d2y11t2d2y1dyt1t解：，因此2． ，2122tdxt12dx2dx2t1t21

xf(t)例19（作业）：求由参数方程所确定的函数的二阶导数，其中f(t)存在且不

ytf(t)f(t)为零.

d2y11dyf(t)tf(t)f(t)t，21解：．

dxf(t)f(t)dxf(t)7、微分的求法

例20（作业）：求函数ysin2(x2ex)的微分．（显函数的微分） 解：

dy2sin(x2ex)cos(x2ex)(2xex)2(2xex)sin(x2ex)cos(x2ex) dx因此dy2(2xex)sin(x2ex)cos(x2ex)dx

例21（作业）：设函数由方程y1xexy确定，求dyx0．（隐函数的微分） 解：

dydyexyxexy(yx)， dxdx第 12 页

高等数学习题课 1，因此dyx0dx．

当x0时，解得y1，代入上式得：

dydxx0第 13 页