七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结

1

七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结

知识点归纳：

一、幂的运算：

1、同底数幂的乘法法则：am•anamn（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(ab)2•(ab)3(ab)5

2、幂的乘方法则：(am)namn（m,n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35)2310

幂的乘方法则可以逆用：即amn(am)n(an)m 如：46(42)3(43)2 3、积的乘方法则：(ab)nanbn（n是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（2x3y2z)5=(2)5•(x3)5•(y2)5•z532x15y10z5

4、同底数幂的除法法则：amanamn（a0,m,n都是正整数，且mn)

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3

5、多项式按字母的升（降）幂排列：

x32x2y2xy2y31

按x的升幂排列： 按x的降幂排列：

按y的升幂排列： 按y的降幂排列：

例.已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

二、单项式、多项式的乘法运算：

6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

如：2x2y3z•3xy (3xy)2(2xy2)= ? (a2b)3(a2b)2=? 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)。如：

2x(2x3y)3y(xy)= 。

8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

9、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

22例如：3aa_______；aa________；3a5b2a8b________

1

2

22233 3xy2xyxy4xy2x10xy2x__________________

10、平方差公式：(ab)(ab)a2b2注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 选如：

(xyz)(xyz) = 11、完全平方公式：(ab)2a22abb2

完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在，符号跟着2倍走,系数计算不能忘。

例如：2a5b____________； x3y_______________

22例（1） x11 2, 求x22的值。 （2）(xy)216,(xy)2＝4，求xy的值。

xx公式的变形使用：（1）a2b2(ab)22ab(ab)22ab；

(ab)2(ab)24ab , (ab)2[(ab)]2(ab)2 ；

(ab)2[(ab)]2(ab)2, b-a=-(a-b)

（2）三项式的完全平方公式： (abc)2a2b2c22ab2ac2bc 三、因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：

①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；

第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b)（a－b） ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2

*在学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。 如：对于任意自然数n，(n7)2(n5)2都能被24整除。

2

3

3．若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于…………………( ) A.3

B.-5

C.7.

D.7或-1

23.配方法： 分解因式x6x16

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 4.十字相乘法：（1）．x2(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之

22和．x(pq)xpqxpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)

因此，x(pq)xpq(xp)(xq)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例1.把下列各式因式分解：

2(1) x7x6

2

2(2) x13x36

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

例2.把下列各式因式分解：

2(1) x5x24

2(2) x2x15

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数， 其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

例3.把下列各式因式分解：

(1) x2xy6y2

(2) (xx)8(xx)12

222分析：(1) 把x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次项系数是y，把6y2分解成3y与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数．

2 (2) 由换元思想，只要把xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项

2式a8a12．

2※5．一般二次三项式axbxc型的因式分解

2大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2． 2反过来，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)

我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1a2

1，cc23

4

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

例4.把下列各式因式分解：

(1) 12x25x2

(2) 5x26xy8y2

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

222

6、分组分解法：abab1 ab－c＋b－ac a－2ab＋b－c 例题:1如图，矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMQP

及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为（ ）A．bcabacb2 B．a2abbcac C．abbcacc2 D．b2bca2ab

2．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（ ）

22A．a—b2a2—2abb2 B．aba2abb

2

C．2aab2a22ab D．aba—ba2—b2

3计算

(1)－3(x2－xy) + x(－2y+2x) (2)(x3)(x3)(x9)

(3) (a4)(a4)(a1) (4) x2y3x2y3

22

4

5

3．先化简，再求值：(3x2)(3x2)5x(x1)(2x1)，其中x

21311124已知a2－3a＋1＝0．求a、a2和a的值.

aaa

5．若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值． 解：∵m2＋2mn＋2n2—6n＋9＝0

∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0 ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0 ∴m＋n＝0，n－3＝0 ∴m＝－3，n＝3

6.问题(1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－6b＋18＋3c＝0， 请问△ABC是什么形状?

2 5