湖南师大附中2015届高三月考试卷(二)数学理试题 Word版含解析

湖南师大附中2015届高三月考试卷（二）

数学试卷（理科） 参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在复平面内，复数

（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

C． 第三象限

D．第四象限

A．第一象限 B． 第二象限 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 将复数z=解答： 解：∵z=

的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案． =

=

=1+i，

∴=1﹣i．

∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限， 故选D．

点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=于基础题．

2．若角α的终边落在直线x+y=0上，则

的值等于（ ） 的分母实数化是关键，属

A． 2 B． ﹣2 C． ﹣2或2 D．0 考点： 三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题： 三角函数的求值． 分析： 根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值． 解答： 解：∵角α的终边落在直线x+y=0上， ∴角α为第二或第四象限角． ∵

+

=

+

，

∴当角α为第二象限角时，原式=﹣当角α为第四象限角时，原式=

+

+=0； =0．

综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D． 点评： 本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想．

3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

27 18 9 A．B． C． D． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．

解答： 解：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， ∵底面长和宽分别为3和6， ∴其底面面积S=3×6=18， 又∵棱锥的高h=3， 故该几何体的体积V=Sh=×3×18=18．

故选：C 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．

4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D．5 考点： 系统抽样方法． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可． 解答： 解：系统抽样的抽取间隔为

=6．

设抽到的最小编号x，

则x+（6+x）+（12+x）+（14+x）=48， 所以x=3． 故选：B． 点评： 本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．

5．若等边△ABC的边长为

，平面内一点M满足

C．

，则

D．

=（ ）

A．﹣2 B． 2

考点： 平面向量数量积的性质及其运算律． 专题： 计算题．

分析： 先用向量解答： 解：∵∴

表示出向量

=

，再求内积即可得解

∴=

=

==

故选A

点评： 本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积，须特别注意向量的线性表示，求数量积时须注意两个向量的夹角．属简单题 6．设函数

若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式

f（x）≤1的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞） B． [﹣3，﹣1]

C． [﹣3，﹣1]∪（0，+∞） D． [﹣3，+∞） 考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 利用f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组能求出关于x的不等式f（x）≤1的解集． 解答： 解：∵函数

f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0， ∴

解得b=c=4， ∴

，

，

，

，解得b=c=4，由此

∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1；

当x≤0时，由f（x）=x+4x+4≤1，解得﹣3≤x≤﹣1．

综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．

2

故选C． 点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性质和应用．

7．已知x，y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得散点图中分析可知：y与x线性相关，且

=0.95x+a，则x=13时，y=（ ）

A． 1.45 B． 13.8 C． 13 D．12.8 考点： 线性回归方程． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，求得a的值，再代入x=13，即可求出y．

解答： 解：由题意，=（0+1+4+5+6+8）=4，=（=5.25

∵y与x线性相关，且

=0.95x+a，

）

∴5.25=0.95×4+a，∴a=1.45 从而当x=13时，有

=13.8．故选B．

点评： 本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．

2

8．已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（ ） A． 6 B． 7 C． 9 D．10 考点： 一元二次不等式的解法；函数的值域． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．

解答： 解：∵函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x+ax+b=0只有一个根， 即△=a﹣4b=0，则b=

2

2

2

．

2

不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x+ax+则x+ax+

2

＜c解集为（m，m+6），

﹣c=0的两个根为 m，m+6．

∴两根之差|m+6﹣m|==6，解得c=9，故选 C．

点评： 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力， 属于基础题．

9．已知双曲线

的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右

支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）

A． [，+∞） B． [2，+∞） C． D．（1，2] 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围． 解答： 解：设P点的横坐标为x ∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a） 根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣

）=e（x+

）

∴ex=2a ∵x≥a，∴ex≥ea ∴2a≥ea，∴e≤2 ∵e＞1，∴1＜e≤2 故选D． 点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．

10．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2015）=（ ）

A． B． C． ﹣ D．0

考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果． 解答： 解：取x=1，y=0

代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）， 得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1）， 解得f（0）=，

则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣； 当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣； 当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣； 当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；

当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=； 当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=； …

6个一循环2015÷6=370余5 f（2015）=f（5）=．

故选：B． 点评： 本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．） 11．已知曲线y=x积为

．

在点（1，1）处的切线为直线l，则l与两坐标轴所围成的三角形面

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到． 解答： 解：求导数可得y′=﹣

，

所以在点（1，1）处的切线斜率为﹣， 切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1）， 令x=0，得y=；令y=0，得x=3． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为故答案为：．

点评： 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键． 12．从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，则使得|x|+|y|≤4的概率为

．

3=，

考点： 几何概型． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： 从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论．

解答： 解：从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，

使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，如图所示，面积为2××（2+8）×3=30， ∴所求概率为

=．

故答案为：．

点评： 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，确定区域的面积是解决本题的关键．

13．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种 1080 （用数字作答） 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，先分组，再分配；先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有

种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A4种方法，进而由分步计数原理计算可得答案．

解答： 解：根据题意，先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有

=45种分组

4

方法，

4

再对应分配到四个不同场馆，有A4=24种方法， 则共有45×24=1080种方法； 故答案为1080． 点评： 本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式．

14．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（sinφ＜0，则f（x）的单调递增区间是 [kπ+

考点： 正弦函数的单调性． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 由若f（x）≤|f（

，kπ+）|对x∈r恒成立，且

] ；（k∈Z）

）||对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函

数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合sinφ＜0，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案． 解答： 解：若f（x）≤|f（则f（即2×

）|对x∈R恒成立，

）等于函数的最大值或最小值， +φ=kπ+

，k∈Z，

则φ=kπ+，k∈Z，

又sinφ＜0， 令k=﹣1，此时φ=﹣令2x﹣

∈[2kπ﹣，kπ+

，满足条件sinφ＜0， ，2kπ+

]，k∈Z，

解得x∈[kπ+]（k∈Z）．

，kπ+

]（k∈Z）．

则f（x）的单调递增区间是[kπ+故答案为：[kπ+

，kπ+

]（k∈Z）．

点评： 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解

答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于基础题．

15．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）=

；A（10，10）= 181 ．

考点： 归纳推理． 专题： 计算题；推理和证明． 分析： 由题意，A（1，n）=1+2+…+n=10）．

解答： 解：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=∴A（1，10）=

=55，

，

，再求出A（1，10），即可求出A（10，

∴A（10，10）=55+10+11+…+18=181， 故答案为：

，181．

点评： 本题考查推理知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cosθ）在角α的终边上，点Q（sinθ，﹣1）在角β的终边上，且

•

=﹣．

2

2

（1）求cos2θ；

（2）求sin（α+β）的值．

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 分析： （1）由点P、Q的坐标即

、

坐标，结合向量数量积坐标运算公式得θ的三角

函数等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可；

22

（2）首先由余弦的倍角公式求出cosθ，再根据同角正余弦的关系式求出sinθ，即明确点P、Q的坐标，然后由三角函数定义得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，最后利用正弦的和角公式求得答案． 解答： 解：（1）∵∴∴∴

．

， ，

，

， ，

（2）由（1）得：∴∴

，，

∴∴

，，，

．

，

点评： 本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义，同时考查向量坐标的定义及向量数量积坐标运算． 17．（12分）坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．

（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？ （2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？

（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率． （2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．

（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望． 解答： 解：（1）按有放回抽取， 甲中奖概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）

=

，

=

，

=

．

乙中奖的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）丙中奖的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）（2）按不放回抽取，

甲中奖概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=乙中奖的概率是：p5=（1﹣）×=

，

．

，

+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）

丙中奖的概率是：p4=（1﹣）×（1﹣）×=

（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000．

且由题设，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=P（ξ=10000）=故ξ的分布列为： ξ P

=

．

，

6000

10000

Eξ=6000×+10000×=9800．

点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型． 18．（12分）如图，四面体A﹣BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是△BMD的外心，点Q在线段AC上，且

=4

．

（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求四面体A﹣BCD的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD； （Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG，从而得到tanθ，由此可得∠BDC，进而可求四面体A﹣BCD的体积．

解答： 解：（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ

∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD ∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点

∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD ∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形 ∴PQ∥OF ∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD； （Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH ∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线 ∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM

∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线 ∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH 因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60° 设∠BDC=θ，可得 Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2Rt△BMD中，HG=∴tanθ=∵BD=2∴S△BCD=∴VA﹣BCD=

==

；Rt△CHG中，tan∠CHG=

=

=

sinθ

2

，可得θ=60°，即∠BDC=60°，

，∴CD=，

=．

，

点评： 本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．

19．（13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）

n﹣1

2

a万元．

（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn万元，求an，bn的表达式； （Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年（2014年）为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．

考点： 数列与函数的综合． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n﹣n+2）（n≥2），从而

n﹣1

2

an=，由此能求出bn=[3﹣2（）]a．（n∈N）．

*

（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4

时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购． 解答： 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn， 则Sn=（n﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，

则n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n﹣n+2）﹣[（n﹣1）﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），

2

2

2

故an=

，

n﹣1

又b1=a，n≥2时，bn﹣bn﹣1=（）

a，

故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1） =a+a+（）a+…+（）=[1++（）+…+（）

22

n﹣1

a

n﹣1

]a

=a

=[3﹣2（）

n﹣1

]a，显然n=1也适合，

n﹣1

故bn=[3﹣2（）]a．（n∈N）．

*

（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2； n=3时，a3=2a，b3=

a，有a3＞b3；

当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购． 当n≥4时，令an＞bn，则（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1＞6﹣4•（）

n﹣1

n﹣1

]a

．即n＞7﹣4•（）

n﹣1

n﹣1

．

又当n≥7时，0＜4•（）

*

＜1，

n﹣1

故当n∈N且n≥7时，必有n＞7﹣4•（）．

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购． 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

20．（13分）已知椭圆

=1（a＞b＞c＞0，a=b+c）的左、右焦点分别为F1，F2，若

222

以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

（a﹣c）．

（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c； （2）求椭圆的离心率e的取值范围；

（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题： 计算题；证明题；压轴题．

分析： （1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离

（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据

≥

（a﹣c）求得e的范围．

（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．

解答： 解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），

Q点到右准线的距离为d=则由椭圆的第二定义知：∴|QF2|=a﹣

，又﹣a≤x0≤a，

﹣x0，

=，

=0，∴k=a，直线的方程为ax

∴当x0=a时， ∴|QF2|min=a﹣c．

（2）依题意设切线长|PT|=

∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，

∴∴0＜

≤，从而解得≤e＜

≥（a﹣c）， ，

，

故离心率e的取值范围是解得≤e＜

（3）依题意Q点的坐标为（1，0）， 则直线的方程为y=k（x﹣1），

22x222222

与抛物线方程联立方程组消去y得（ak+1）﹣2akx+ak﹣a=0得， 设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=

，x1x2=

，

代入直线方程得y1y2=

，

x1x2=+y1y2=

，又OA⊥OB，

∴=0，

∴k=a，

直线的方程为ax﹣y﹣a=0， 圆心F2（c，0）到直线l的距离d=

，

∴≤e＜∴s∈（0，

•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，

），所以弦长s的最大值为

．

点评： 能力．

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的

21．（13分）（2012•佛山二模）记函数函数为f′，函数g（x）=fn（x）﹣nx． n（x）

的导

（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若实数x0和正数k满足：

，求证：0＜x0＜k．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；证明题；综合题． 分析： （Ⅰ）由g（x）=（1+x）﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n[（1+x）为偶数与n为奇数讨论导数的符号，即可求得其单调区间和极值； （Ⅱ）由

n

n

n﹣1

﹣1]，分n（n≥2）

可求得x0=

，设分子为h

（k）=（nk﹣1）（1+k）+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，从而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；

进一步可求得x0﹣k=

n

＜0，从而得证0＜x0＜k．

n﹣1

解答： 解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）﹣1﹣nx，所以g′（x）=n[（1+x）﹣1]．…（2分） ①当n≥2且n为偶数时，n﹣1是奇数，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0． 所以g（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞），极小值为g（0）=0．… ②当n≥2且n为奇数时，n﹣1是偶数，

由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0． 所以g（x）的递减区间为（﹣2，0），递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）， 此时g（x）的极大值为g（﹣2）=2n﹣2，极小值为g（0）=0．…（8分） （Ⅱ）由

得

，

所以1+x0=

n

，x0=

…（10分）

n

显然分母（n+1）[（1+k）﹣1]＞0，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）+1（k＞0）

nn﹣1n﹣1

则h'（k）=n（1+k）+n（1+k）（nk﹣1）=n（n+1）k（1+k）＞0，

所以h（k）是（0，+∞）上的增函数，所以h（k）＞h（0）=0，故x0＞0…（12分） 又x0﹣k=

，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）﹣1﹣nx是（0，+∞）

n

上的增函数，

nn+1

故当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）＞1+nx，所以1+k（n+1）＞（1+k） 所以x0﹣k＜0，从而x0＜k．综上，可知0＜x0＜k．…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，突出转化思想与分类讨论思想的运用，突出构造函数的思想的应用，熟练掌握导数法研究函数的单调性与极值与最值是解决这类问题的关键，属于难题．