重庆大学2009年数学分析

一、（15分）设limana（有限），证明：limna1a2……annna。

二、（16分）（1）叙述并证明零点存在定理（闭区间上连续函数的性质）；

（2）证明：若f:[a,b][a,b]为连续函数，则存在[a,b],f()。

三、（14分）设函数f(t)存在二阶偏导数，uf(xy)满足

f(t)的表达式。

22ux22uy220，求函数

四、（16分）（1）叙述Lagrange中值定理；

（2）设函数f(x)在区间(a,b)上可微，且limf(x)，证明存在序列

xa{n}:na0，使得limf(n)。

n

五、（15分）设函数f(x)在[a,b]上连续，证明lim(nban1nf(x)dx)maxf(x)。

x[a,b]

六、（14分）计算曲面积分I222222(xx2)dydzydxdzzdxdy，其中为

22xaybzc1的

外表面(a、b、c0)。

七、（14分）设函数f(x)在[0,)上可微，f(x)单调递增无上界，证明：广义积分



0cos(f(x))dx收敛。

八、（14分）判别含参量广义积分I(y)明理由）。

0sin(x)1xy2dx在区间[0,)上的一致收敛性（说

九、（16分）设cn(x)在区间[1,1]上连续、非负， cn(x)在[1,1]上一致收敛于f(x)，f(1)1。

n1（1）证明：cn(x)cos(2nx)在[1,1]上一致收敛;

n1（2）求lim

x10cn1n(x)cos(2nx)。

十、（16分）设an,cn0，数列{an}单调减少，数列{cn}单调增加。证明：

 （1）若an收敛，则limnan0。

n1n(2) 若n11cn发散，则n11ncn发散。