线性系统的状态空间分析与综合 例题解析

例题解析

例9-1 对于图9-1所示的质量－弹簧系统，当外力F（t）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦，试：

（1）以质量m2的位移y(t)为输出，外力F(t)为输入，列写系统的运动方程； （2）求从F(s)到y(s)的传递函数； （3）以框图表示上述系统；

（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。

F(t)

y(t) m1 k1 m2 k2 图9-1 质量－弹簧系统

解：（1）设质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有

 1) z F(t)k1(zy)m1同理对质量块m2有

 2) y k1(zy)k2ym2联立式1）和2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： m1m2y(4)k1k2yk1F(t) 3) [(k1k2)m1k1m2]y(2) 对式3）进行拉氏变换可得

k1Y(s) 4) F(s)m1m2s4[(k1k2)m1k1m2]s2k1k2·258 ·

(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 同样处理式2)有

Z(s)1 5) 2k1`Y(s)F(s)m1sk1k1Y(s) 6) 2Z(s)m2sk1k2由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。

F 1Z ky 1 m1s2k1m2s2k1k2 k1 图9-2 系统结构图

（4）设状态变量

x1zx1x2z

x3yx3x4y 由式1) x2zk1kFmx(t)11x3 1m1m1由式2) xk1k2k4ymx31x1 2m2因此有

0100k01 xk1m1m0010011mkx1F(t) 2m0k01k22m0020 y0010x

259·

·例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x1，x2 ，x3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.

u － 2s3x2 － 2s(s1)x1 x3 s

图9-3

解： 由结构图可得

2ux1)(s3)x2（2(xx)s(s1)x231 

x3sx1yx1整理可得系统状态空间方程表达式

.x1x3. x22x13x22u

.x32x23x3yx1写成矩阵的形式

0100230x2u x2300例9-3 设系统微分方程为

y100x

714y8yu8u15u yy系统初始条件为零，试：

（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。

·260 ·

解：系统的传递函数为

s28s15Y(s) G(s)3 1) s7s214s8U(s)(1) 令

G(s)Z(s)Y(s) 2) •U(s)Z(s)式中

Z(s)1 3) 32U(s)s7s14s8Y(s)s28s15 4)

Z(s)

由式3) 714z8zu zz2x31x2z令 x1z x  xz3z8x114x27x3u 则有 x由式4) y15x18x2x3

1000x0u y1581x 0有 x0181471(2) 对式1)进行部分分式展开，有

813Y(s) G(s)326s1s2s4U(s)令

X(s)X(s)X1(s)111 2 3 U(s)s2U(s)s4U(s)s11x1u x34x3u y22x2u x则有 x831x1x2x3 3261x 6010183020x1u y故有 x230041

·261·

两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图9-4（a），（b）所示。

u

8 1sx3 1sx1sx1 1y －7 －－8 (a)

1s－x1 831 u 1s－x2 32y 2 1sx3 (b)

图9-20 系统状态模拟图

16－例9-4 线性定常系统的齐次状态方程为

101x1x x223x2·262 ·

x(0)1系统的初始状态为 x(0)1x2(0)0 求系统齐次状态方程的解x(t)。

解：先求系统的状态转移矩阵(t)eAt。 解法一 按矩阵指数定义

（t）eAtIAt12!A2t2…= 1001101220123t223t…= 1t2t3t3t27326t775 2t3t23t313t2t22t3解法二 用拉氏变换法

（t)L1[(sIA)1]

adjs11 (sIA)1s12s32s3dets11s23s2s312s 2s3211 s1ss122211s22 s1s2s1s2112ete2t故得 (t)L[(sIA)]ete2t2et2e2tet2e2t解法三 用凯莱—哈密顿定理 系统特征方程 det[IA]122332(1)(2)0

系统矩阵有A两个互异特征值11，22。 （t)eAt0(t)I1(t)A

263· ·

1(t)11e1t11et2ete2t (t)12t122tt2teee2e2故 (t)(2ete2t)11110t2t0(ee) 01232ete2t t2t2e2e系统齐次状态方程的解为

ete2t t2te2eete2t12ete2t t2tt2t0e2e2e2e2ete2tx(t)(t)•x(0)t2t2e2ee2t1Ax(t) 已知当X(0)=时， x(t)=2t； 例9-5 设系统状态方程为 x1e2et2当x(0)=时，x(t)=t，试求系统矩阵A及系统状态转移矩阵(t)。

1e解：先计算状态转移矩阵(t)。设

11(t)12(t)(t)

(t)(t)2221齐次方程解为x(t)(t)x(0)，依题意应有

e2t11(t)12(t)111(t)12(t) 2t1(t)(t) 1)

(t)(t)222221e212et11(t)12(t)2211(t)12(t) t12(t)(t) 2)

(t)(t)222221e21解方程组得

11(t)2ete2t12(t)2et2e2t 21(t)ete2t22(t)et2e2t2ete2t故 (t)t2tee计算系统矩阵A,由状态转移矩阵性质得

2et2e2t t2te2e·264 ·

2ete2t' A(t)|t0t2tee2et2e2tet2e2t't020 13注意：根据1)，2)可以列出下面的式子,用以求得(t)

e2t2tee2t故 (t)2te2et12(t)11 te122et1et112ete2tt2tee2et2e2t t2te2e例9-6 设系统运动方程为

(ab)yabyucu y式中 a，b，c均为实数；u为系统的输入；y为输出。试：

(1) 求系统状态空间表达式； (2) 画出系统相应的模拟结构图；

(3) 当输入函数u(t)1(t)时，求系统状态方程的解。 解：（1）依题意可写出系统传递函数

G(s)Y(s)scsc2U(s)s(ab)sab(sa)(sb)ca1cb1 ••basaabsbX1(s)X(s)11 2 U(s)saU(s)sb令

1ax1u x2bx2u 则可得 xy故有 xcacbx1x2 baabcbx aba01ca yXu1ba0b（2）依状态空间表达式，可画出系统模拟结构图（即状态图），如图9-5。 （3）系统状态转移矩阵

·265·

10111sa1sa(t)L[(sIA)]LLsb00t00eat10sb0

btex(t)(t)x(0)(t)Bu()d

0x1(0)tea(t)011d btb(t)0ex2(0)e011atatatx(0)e(1e)ata1x1(0)etea btbd bt01ex2(0)ex2(0)ebt(1ebt)b

x1 u 1ca sba －a x2 1cb sab －b eat0图9-5

y 2yyuu y例9-7 一系统的微分方程为（1）建立系统的动态方程； （2）用四种方法求系统的转移矩阵。 解：(1)由微分方程可得到系统传函为

G(s)Ys1s1 Us22s1(s1)2s1s2G(s)

12s1s2用s2除以G(s)的分子和分母得

根据梅逊增益公式，可画出如下信号流图

·266 ·

图9-6

由图可知

1x2x x2x12x2u yx1x2写成矩阵形式为

A0112,B01,C11

（2）求状态转移矩阵 ① 首先用拉氏变换法求eAt

eAtL1[(sIA)1]

1(sIA)1s1

1s21s21s22s11stteAtL1[(sIA)1]etetet

tetettet② 用特征值、特征向量法求eAt 特征方程为 f()1122210

特征根为 1,21 特征向量为11，广义特征向量为1 0非奇异变换矩阵

P1110,P10111eAtPe1tte1tttt1etete0e1tPtetettet267·

·

③ 用待定系数法求eAt

由凯莱－哈密尔顿定理知 e1ta0(t)a1(t)a1(t)1

1t对λ求导得 te联立求解上面两个方程得

a1(t)

a1(t)teta0(t)etteteAta0(t)Ia1(t)Aettet0ettettte④ 用信号流图法求e

将系统的信号流图变为图9-7，由梅逊公式知

Δ＝1＋2s1＋s2

－

－

0ettettettetettet0tet2tetAtX1(s)和x1(0)的关系为

1(12s1)x1(0)X1(s)()12s 12sss22x1(0)s2s1X1(s)和x2(0)的关系为

图9-7

x2(0)s1X1(s)()s 12s1s2x(0)22s2s1X2(s)和x1(0)的关系为

x(0)s1x1(0)X2(s)()()21

ss2s1X2(s)和x2(0)的关系为

X2(s)()(1x2(0)s)2x2(0)

ss2s1·268 ·

由 X(s)(s)x(0)

s22可得 (s)s2s112s2s1因此

1s22s1

ss22s1ettet(t)L[(s)]tte1 ttetetet(0)0例9-8 对例9-7中的系统，当输入量为u(t)sint，初始条件为y(0)1,y时，求输出量y(t)。

u 解: 令 ru2yyr 微分方程变为 y 令 x1y,x2y有

1x2x22x2x1r xyyx1写成矩阵形式

A上题已求出

100,B,C10 121ettetttetet ttetee系统状态的初始值为

Atx1(0)y(0)1 y0 x(0)(0)2输入为 r(t)costsint 系统的转移状态方程为

·269·

x(t)eAtx(0)eA(t)Br()d0ty(t)Cx(t)CeAtx(0)CeA(t)Br()d0t(1t)etet110tt0(1t)ete (t)t(1t)e(t)e(t)0100(cossin)d(t)(t)1(t)e(1t)et(1)et[(t)e(t)](cossin)d03t11etetsintcost222例9-9 太阳能加热系统的微分方程为：

tdx13x1u1u2dt

dx22x2u2ddt这里u1和u2是系统输入，d是系统的干扰。当u10，u21，d0，初始条件为零

时，求系统响应。

解：由题目知

u130110

,B,uu A202011d有

eAte3t000,x(0) e2t013t(e1) Bu()d3e2t1则 x(t)e0tA(t)例9-10 已知一线性定常系统的状态转移矩阵为

2ete2t (t)2tt2e2e试求该系统的系统矩阵A。

解：可用两种方法求A （1）由(t)L[sIA]知

11ete2t

2e2tet·270 ·

s312s31113s2s3s2(sIA)22s2ss3s223s2s3s21s31s1(sIA)(s23s2) 2s32s1s10AsI232s3s2(s)2s（2）由状态转移矩阵的性质知

(t)A(t),(0)I 因此有

(t) At010 23例9-11 图 9-8（a）所示电网络的输入端电压如图（b）所示，试求电流（）的表达式。

（a） （b）

图9-8 （a）电路图 （b）输入电压

解：（1）建立状态方程，由电路知识有

di(t)R1i(t)u(t) dtLL选（）为状态变量，即令＝（）

dx1R1x1u(t) dtLLR1即 A,B

LL1 x(2)系统的状态转移矩阵为ee，可用两种方法求电流（）

① 把输入电压表示成e(t)E1(t)E1(tt1)，用拉氏变换的方法求解电流（）。

·271·

AtRtL② 把整个过程看成两段，第一段是由x(0)转移到x(t2)，第二段由x2(t)转移到x(t)。 这里用第二种方法计算。

对于第一段，有e(t)=E,0≤t≤t2，按定常系统状态方程的求解公式有：

i(t)eAti(0)teA(t)0BudeRLti(0)BeAtteA0Ed



eRLti(0)(L1R)(L)E(1eA)eAeRLi(0)ERtR(eL1)对于第二段，有e(t)=2E，t>tv,初始状态为

x(tERt1E1)i(t1)[i(0)R]eLR

于是

i(t)eA(tt1)x(tt1)eA(t)1B2Ed

ReL(tt1)i(tt2EAtA1)1LeedREL(tt1)ReERLt2i(0)EReR例9-12 已知矩阵A32A10023求e,sinA,A解：（1）求A的特征值

特征方程 f()IA2650 特征值为 11,25 （2）求非奇异线性变换矩阵P 对应11和2的特征向量为 1,11 因此有

P11111,P111211

AP1AP1005（3）计算eA

eAPeAP111e0111110e52111ee52ee5272 ·

ee5ee5 ·（4）计算sinA

sinAP(sinA)P11111sin100sin5111211

1sin1sin5sin1sin52sin1sin5sin1sin5（5）计算A100

A100P(A100)P11110111 1105100211

1151001510021510015100例9-13 已知矩阵

0100A00100001 1000试用凯莱－哈密尔顿定理计算A7

－A3

＋2I。

解：系统的特征方程为

f()IA410

由凯莱－哈密尔顿定理知 f(A)A410 于是 A7A32IA3(A41)2I2I例9-14 已知矩阵

100 A000 001000试利用状态转移矩阵的性质求eAt,并用特征值,特征向量法验证。

解: 将A分为两个矩阵之和

273·

·

0A000A100(A1A2)t10000000000000A1A210000,A2000100000000010

由于A1A2A2A1,所以eeA1teA2t

At对于矩阵A有 e而

e(A1A2)teA1teA2t

eA1tet0000et0000et0 et0001000000001000eA2ttkkAk0k!1000于是

t1001001000000001t01000000t100010

eAtet000tetet0000et000 tteet例9-15 线性定常系统传递矩阵为

·274 ·

s3(s1)(s2)G(s)

s4s3（1）求系统可控标准形实现，画出系统状态图；

（2）用传递函数并联分解法，求系统对角形实现，画出系统状态图。 解：（1）

s3(s1)(s2)(s3)201G(s)

1(s1)(s2)(s3)(s1)(s2)11s3s26s901 32 2s6s11s6s3s21利用传递函数直接分解法得可控标准形实现

1000x0u 0 x0161161 y9610xu 231111s1s20 （2）G(s) 11s3令

X1(s)1U(s)s1X2(s)1U(s)s2X3(s)1 U(s)s333x3u 1x1u x22x2u x可得 x y12x1x2 y2x3u

·275·

故

0101020x1ux03012100yxu0011

可控标准形，对角形实现对应的状态图分别如图9-9(a)，(b)所示。

（a）

1s －x1 2 1 1x2 －1 s u y1 －2 1s ·276 · －x3 y2 3

(b) 图9-9

例9-16 已知系统传递矩阵为 G(s)2(s3)4(s4) (s1)(s2)s5求最小实现。

解：

G(s)[2(s3)(s5)4(s1)(s2)](s1)(s2)(s5)04

s216s304s2[212s8]s38s217s1004为方便计，先求其转置实现：

GT(s)12s216s300s38s217s104s212s84利用传递函数直接分解法可得

010 x001101780x0u 1 y30162124x084u 再对其进行转置，得出系统实现为

0010308x101718x1612u

024y001x04

u例9-17 已知系统的输入输出方程为 y4y3yu6u8u 试分别求出满足下述要求的状态空间表达式：

277·

·

（1）系统为可控可观测的对角标准形； （2）系统为可控不可观测的； （3）系统为可观测不可控的； （4）系统为即不可控也不可观测的。 解：（1）

312G(s)Y(s)U(s)s6s82s5s24s31(s1)(s3)12s12s3

令

X1(s)1X(s)U(s)s1 2U(s)1s3 可得 xx1u x23x3u yu32x112x2

x(t)故有 10103x(t)1u(t)31 1)

y(t)22x(t)u(2) 在G(s)中分子，分母各乘一因子“ｓ”，使之存在零极点对消，即

s)1s(2s5)2s2G(5ss(s24s3)1s34s23s 采用可控标准形实现，系统一定是可控（必然不可测）的，有

x(t)0100001x(t)0u0341 2) y(t)052x(t)u(3) 利用式2)的对偶实现，系统必是可观测不可控的，有

278 ·

·0000103x(t)5ux(t) 0142 3)

y(t)001x(t)u(4) 在式1)的基础上，加一个不可控不可观测的状态变量，构成不可控不可观测的系统实现，即

x(t)1001030x(t)1u 00a0 4) y(t)31220x(t)u式中 a为任意实数。

注意:实现的方案有很多种,本题答案仅供参考. 例9-18 一控制系统结构如图9-10所示。

其中k1,G(s)(s1)2s21,H(s)2s1 （1）画出相应的信号流图,列写动态方程； （2）确定系统的稳定性； （3）判断系统的能控性和能观性。

U(s) 1 Y(s)

kG(s)S＋ － H(s)图9-10 系统结构图

解:(1)G(s)可变为

G(s)s22s12ss2112s1s2111s2

于是，根据结构图画出信号流图如9-11：

279·

·

图 9－11

分别令积分器的输出为状态变量x1,x2,x3,于是

12x3(2)x1x1ux2x3 x

2113x2u2(x3x1u)x1x333整理后得

211x3x1u3332x3x1x1413x1x2x3ux333

2110333A001,B0,C1001141333(2)分析系统的稳定性 可用两种方法求系统特征方程 ① 特征方程为

f()IA013132311(335251)0

43130② 系统的闭环传递函数为

s22s1(s)3

3s5s25s1特征方程 D(s)3s5s5s10 根据特征方程列劳斯阵列为

·280 ·

32s3s2s1s03551 22051第一列系数均大于零，因此系统稳定。 （3）能控判别矩阵。

QcB113912ABAB03159311275 9209rankQc3，系统能控。

能观测判别矩阵

1C1Q0CA32CA19rankQ03，系统能观。

例9-19 考虑由

002302 31091010x10xxx1u20012x6116x30 3x1yc1c2c3x2x3定义的系统。除了明显的选择c1＝c2＝c3＝0外，试找出使得该系统不可观测的一组

c1，c2和c3。

解：A矩阵为友矩阵，于是将友矩阵化为对角线矩阵的非奇异线性变换矩阵为

·281·

110110,A020P123

149003CCPc1c2c3c12c24c3c13c29c3因为，非奇异变换不改变系统的能观性，于是当

c1c2c30 c12c24c30

c3c9c0231任一组成立时，该系统都不能观测。 例9-20 线性定常系统的传递函数为

G(s)Y(s)sa3 U(s)s6s211s6（1）指出当a为何值时，系统是不能控或不能观的? （2）建立动态方程，使系统是不能控的。 （3）建立动态方程，使系统是不能观的。 解：（1）G(s)可变换为

G(s)sa

(s1)(s2)(s3)当a＝1，2或3时，传递函数出现零，极点相消的现象，这时系统是不能控或不能观的。

（2）当a＝1时，系统的能观标准型为

00611011x1ux0160y001x此时，系统能观，但不能控。 （3）当a=1时，系统的能控标准型为

1000

x0u0x01

61161

·282 ·

y110x

此时，系统能控不能观。 例9-21 一系统的传递函数为G(s)能观性。

解：可以证明对于单输入，单输出系统来说，系统能控,能观的的充要条件是：传递函数没有零，极点对消现象。

该系统传递函数无零极点对消现象，因此系统能控且能观。

10确定系统的能控性和

s2(s1)(s22s2)d2ydyduyu，例 9-22 一系统的微分方程为22其中y是输出，u是输入。 dtdtdt（1）选择相变量作为系统的状态变量，分析系统的能控性和能观性。 （2）选择状态变量为x1y和x2dyu，分析系统的能控性和能观性。 dt（3）分别对上述两种情况进行非奇异变换，分析系统的能控性和能观性。 解：（1）系统的传递函数为

G(s)s1 2s2s1存在零极点相消现象，系统不是完全能控和能观的。

s1s2 G(s)

12s1s2相变量形式的信号流图为

图9-12

动态方程为

·283·

100xxu121y11x01Qc,rankQc2,所以，系统能控。1211Q0,rankQ012,所以，系统不能观。11

u 时， （2）当x1y,x2y1x2ux2u2yyu2(yu)yu2x2x1u xy写成矩阵形式为

信号流图为

101xx1u12y10x

图9-13

1Qc11Q001,rankQc1,所以，系统不能控。 10,rankQ02,所以，系统能观。 111（3）对于情况（1）特征值为121，特征向量为，广义特征向量为。

1011101P,P,1011

111AP1AP,B,C01011系统能控不能观。

·284 ·

对于情况（2）

11101P,P,1011

111A,B0,C1101系统不能控但能观。由此可见，经线性非奇异变换，系统的能控性和能观性没有改变。

例9-23 系统结构图如图9-14所示,图中ａ,ｂ,ｃ,ｄ均是实常数.试建立系统的状态空间表达式,并分别确立当系统状态可控及系统可观测时,a ,b，c ,d应满足的条件。

u － － 1sx2 c － 1sx1 y b a d 图9-14 系统结构图

解：依系统的结构图可列出

1acx11xxdbx1u 22y10x

PcBAB1ca1bd1bdca0

P0CCAacc

可见,当abcd0时系统可控;当c0时系统可观测。 例9-24 设

·285·

a1 A10中的参数具体表示。

解:

a201a3 Cc10000

其中, a1，a2，a3，c1为实数.试问,(A,C)可观测的充分必要条件是什么?要求用A和C

CP0CACA22c1a1c1a1c1a2c1a2a1a2a30a2c1a1a2c1a3c10a3c1c3a1a3c121a1a1a20a2a1a2a30a3a1a3

a3c13123a3c1a1可见,当a3c10时,系统可观测。

例9－25 设在线性系统xAxBu,yCx中

0102A6232001000 B C4311 330042（1）请判断其可控性，并求出其可控子空间； （2）判断其可观测性，并求出其不可观测子空间； （3）计算其传递函数。 解: 系统特征方程为

s1sIA063P1则有

0s22200s30000s4(s1)(s2)(s3)(s4)0

可见，系统特征值为互异单根，可以对角化。设矩阵A相对于11的特征向量为

00p11000010p0021 (1IA)P16220p3103203p410·286 ·

p210可解出3p1 则有 p111p3111 取p11Pp2101pp

41p1131p3411同理，对22相应的特征向量设为P2,有

1000(0000p120p2IA)P2610220

23202p32p0420p1200解出 pp132222 取 p221 有 P22

p42p222100同样,对0033 可得P3;对414,可得P40

01使系统化为对角形的线性变换矩阵为

1000pp01001p2p3p4 321011011000000P10100110200 APAP32100030 11010004100011BP1B010032100300110121

1000CCP43110100210300111101287·

·

对角化后的状态空间表达式为

10x 00y002000003010100xu0 0411x可看出,系统不可控不可观测.x1,x4构成可控子空间

110x11xxcx1u044 x4x3,x4构成可观测子空间

330x30xx0ux404x41y11x0系统传递函数为

G(s)C(sIA)1BC(sIA)1B1s1000110001s200001s30010010s4011s4

例9-26 给定系统的状态空间表达式为

0011103x1ux0130y012x

请判断系统的可控性，可观测性。若不完全可控，请用坐标变换分出其可控和不可控的子系统，讨论能否用状态反馈uKx使闭环系统稳定。

·288 ·

解:

101 PcBABA2B113

012 rankPc23（不完全可控）

C011 PCA0 124CA2233 rankP023（不完全可观测）

1系统可控性指数为2，在PC中选两个线性无关的列向量，即100无关的列向量0构成变换矩阵

110010T11100 T110

110111100001ATAT1110100010311011110130110100BTB110111011100100CCT1012110112011系统按可控性，不可控性分解为

 x1011x11x22x0u x1223001x30

01取一个与之线性

1112201

·289·

可见，不可控子空间对应特征值31,可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置。因此，用状态反馈可以使闭环系统稳定。 例9-27 给定开环传递函数为

G(s)s1 2s(s3)要求用状态反馈将闭环极点配置到2,2,1。试计算状态反馈增益矩阵，并说明所得到的闭环系统是否可观测。

解: 写出系统的可控标准形实现为

0100001x0ux0031y110x设系统状态反馈矩阵Kk1

k2k3，令加状态反馈后闭环系统特征多项式为

s01000010ksI(ABK)s1s0031k2sk30k110s1k2s3k3

s3(3k3)s2k2sk1(s2)2(s1)s35s28s4比较系数得 Kk1k2k3482

状态反馈不改变系统零点，且不改变系统可控性。然后反馈后系统在s1 处出现零极点对消，所以闭环系统必不可观测。

例9-28 系统状态方程如下：

1000x0u 0x010311试判定系统是否可用状态反馈uKxv分别配置以下两组闭环特征值 2,2,1 2若能配置，则求出反馈增益向量K。

解: 判定系统可控性

·290 ·

23

rankPcrankB0002n3

ABA2Brank011112系统不可控，不能实现极点的任意配置。考虑原系统特征值

s10sIA00s01(s1)(s0.5j2.75)(s0.5j2.75)

3s1有一个特征根本来就在s1处，而且由状态方程可看出，正是该特征根对应的状态不可控，所以可以利用系统的可控子系统将另两个极点配置到2,2，实现第一组闭环特征值的配置。

可控子系统状态方程为

201x20xu x331x31令

s0010sI(AcBcKc)k20s311s3k21s2(k31)s(3k2)s1k3k3

(s2)2s24s4

得 Kck2故可取 Kk1将闭环极点配置到12例9-29 设系统状态描述为

k315 k2k3015

2。系统用状态反馈不能实现第二组闭环极点的配置。

AxBux

yCxˆ构成闭环系统，xˆ为x的估计值。 现引入状态反馈uvKx(1) 写出该系统状态向量ｘ的全维渐进估计器动态方程；

(2) 写出带状态反馈、全维估计器的闭环系统动态方程，并画出包括状态反馈及全维估计器的闭环系统结构图。

解:（1）先画出闭环系统结构图，如图9-15所示。依图，可写出状态观测器方程为

·291·

ˆAxˆH(yˆy）ˆHC(xˆx)B(vKxˆ)xBuAxˆHCxBv(AHCBK)xˆCxˆy（2）系统状态空间描述

1）

ˆˆ xAxB(vKx)AxBKxBv 2）

yCx联立式1），式2）两式，有

xABKxxˆHCAHCBKBxˆBvx yC0xˆ v u B x Ix sC y A K  B xIxyˆC s－ A H 图9-15

例9-30 设系统状态空间描述为

x51060x2uy01

x（1）画出系统状态图；

292 ·

3） （

·(2) 求系统传递函数；

(3) 判定系统可控性，可观测性； (4) 求系统状态转移矩阵(t)；

(5) 当x(0),u(t)0时，求系统输出y(t)；

(6) 设计全维状态观测器，将观测器极点配置在10j10,10j10处； (7) 在(6)的基础上，设计状态矩阵K使系统闭环极点配置在5j5,5j5处 ； (8) 画出系统总体状态图。

解: （1）原系统状态图如图9-16所示：

03

y=x2

u 2x2 1sx2 －1 x1sx1 6 图9-16

－(2)

s5101G(s)C(sIA)B016s201(3) PcB1

s1012(s5)s25s66s52s25s602 （系统可控） AB20 P0C01 （系统可观测） CA601s51s111111(4) (t)L[(sIA)]LL26s5

6ss5s6 ·293·

23 L1s3s266s3s2113t2ts3s23e2e3t2t236e6es3s2e3te2t 3t2t2e3e3e3t2e2t(5) y(t)Cx(t)C(t)x(0)016e3t6e2t2t3t9e6ee3te2t02e3t3e2t3

h1(6) 设观测器输出误差反馈矩阵H,令

h2s51h1s51h1sI(AHC)016sh26sh2s(5h2)s66h15h2(s10j10)(s10j10)s20s200

比较系数得

2

h1119H6

h215(7) 设状态反馈增益矩阵K=k1k2，令

s510sI(ABK)2k16sk2s562k11s2k2

s2(52k2)s62k110k2(s5j5)(s5j5)s210s50

比较系数 52k210

62k10k501219k225 2解出 Kk1(8) 整体系统状态图如图9-17所示。

·294 ·

图 9－17

例9-31 一机械系统如图9-18所示，其中m1＝m2＝1，k1＝k2＝1。 （1）建立动态方程； （2）求系统的特征根；

（3）选择适当的xi，加入u＝－kxi后使系统变成稳定的，确定使系统稳定的k值。 解：（1）系统受力分析如图9-19所示 由牛顿第二定理可知：

uk2(yz)m2yk2(yz)k1zm1zuyzy

y2zz

将m1＝m2＝1和k1＝k2＝1代入得

， ,x3y,x4y选状态变量为x1z,x2z于是有

图9-18

1x2x2x32x1xz3x4x4 ux3x1xy写成矩阵形式为：

图9-19

·295·

02A01（2）系统的特征方程为

1000010,B,C0010 000101010f()IA201101001001(3)(1)(1)3(2212) 4321特征根为

1,2j系统处于临界稳定状态。

（3）选u＝－kx4，可使特征方程不缺项，此时

3535 ,3,4j2202A011001000112f()0010(3k2劳斯阵列为

001k00

1011k)(222k12)4k3322k1s4s3s2s1s0·296 ·

1310

k2k11k01当k0时，系统是稳定的。

例9-32 已知一个简谐振子的状态方程为

011xxu,y01x 100（1）讨论系统的稳定性。

（2）加输出反馈可否使系统渐进稳定？ （3）加状态反馈则又如何? 解：（1）系统特征方程

1f()IA210

1特征值 1j,2j。

系统处于临界稳定状态。

（2）设输出反馈矩阵为H（是常数），加输出反馈后uHYV,状态方程为

AxB(VHy)AxBHCxBv(ABHC)xBV x其中 ABHC特征方程为

01H 01(1H)f()I(ABHC)21H0

1H无论取何值，都不能使系统的特征根都位于左半s平面，因此加输出反馈不能使系统渐进稳定。

（3）设uVKx,Kk1k2，加状态反馈后状态方程为

(ABK)xBVxk11k2 ABK 102f()k1(1k2)0通过k1和k2的调整可使系统的特征值都位于左半s平面，使系统渐进稳定。 例9-33 设控制系统的传递函数G0(s)1，要求综合系统的阻尼比

s(s4)2，无阻尼自然振荡频率n32rad/s。 2（1）设计一状态反馈阵K，并画出所构成的状态反馈闭环系统的结构；

·297·

（2）试确定一个二维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-10，-20，并画出带观测器的闭环系统结构；

（3）试确定一个一维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-20，并画出带观测器的闭环系统结构。

解：（1）希望极点的位置按主导极点设计法来进行综合，设主导极点为1和2，根据二阶系统性能指标和主导极点的关系有

1nj12n22*323j3 32j12222222*323j3 2nj1n32j122希望的闭环系统的特征多项式为

f*(s)(s1)(s2)s216s18设K0k1(1)

k2，状态反馈闭环系统的特征多项式为

f(s)det[sI(AbK)](由传递函数得A＝sk11k2s4s2(k14)s4k1k2c01)

(2)00,141b,0由式（1）和式（2）同次项系数相等，得

V k146 4k1k218u 1 sX1 1 sX2y + +2 ＋ +则 +＋ k12＋  k210即 K0210

++－4 ＋ ＋ 10 图9-20

原受控系统状态反馈系统结构如图9-20。

（2）由带观测器的状态反馈系统极点等于原系统的直接状态反馈系统极点与观测器系统的极点的合成，二者的极点互不相同，彼此分离可知，带观测器的状态反馈阵K与（1）中的K相同。系统的可观矩阵为：

·298 ·

C01M0,CA14g1，观测器的特征多项式为 g2rank[M0]2

系统是可观的，因此存在渐近稳定的状态观测器。 设Gs000g12f(s)det[sI(AGC)]det14g01s(4g2)sg1(3)0s2 希望的状态观测器的特征多项式为

f*(s)(s1)(s2)s230s200 由式（3）和式（4）同次项系数相等，得

(4)g1200 4g302则 全维状态观测器的方程为

g1200

g226ˆ(AGC)XˆbuGyX ˆ反馈信号为：KX即

Xˆ11ˆ0200X2001uˆ26yXˆ1300X2

2反馈信号为：ˆ2Xˆ10Xˆ210X12二维观测器所构成的状态反馈闭环系统的结构图如图9-21所示。

（3）由图9-21可知，X2是可直接量测的状态变量，X1为不可直接量测的状态变量。 由C可得非奇异矩阵T为单位矩阵，则可对原系统直接分解：

~~~~~~AX100XBXA11111121~u~~~~14~0uX2X2A21A22X2B2 ~X1y01~X2

·299·

图 9－21

~A110,~A120,~B11,~~对不能直接量测子系统Z1A11,态观测器的特征多项式：



~~~B20,C10.C21~~B1,A12,0构造一维观测器。设G1[g]，可得状

~A211,~A224,~~f(s)detsIA11G1A21dets0g1sg 希望的一维观测器的特征多项式是

(5)f*(s)(s20) 由式（5），（6）同次项系数相等，得

g＝20 得

(6)~~Z120Z1u320y~~ˆXZ120y1 由于变换矩阵为单位矩阵，所以不用回到原系统坐标系中去。

由一维观测器构成状态反馈的闭环系统结构图如图9-22所示。

·300 ·

图 9－22

例9-34 设二阶系统为

(t)11X1(t)0X1X(t)1u(t)

412X2(t)（1）该系统能否通过状态反馈来实现闭环极点任意配置，为什么？ （2）设希望闭环极点为16,27，试设计状态反馈矩阵K。

T（3）画出带有状态反馈的状态变量图。

（4）试分别求出初始值X(0)10及输入u(t)0，求原系统和带状态反馈后系统的瞬态响应。

解：（1）由于系统的可控性矩阵为：

McbAb0111,rank[Mc]2 故系统是可控的，通过状态反馈可以实现其极点任意配置。

（2）设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈增益矩阵为K=[k1 闭环特征多项式为：

f(s)detsI(AbK)s11k14sk21

s2(k22)sk1k25而闭环系统的期望特征多项式是

f*(s)(s6)(s7)s213s42

由以上两式同次项系数相等，可得

k2213,kk2111kk 2542,126即 K2611

（3）带有状态反馈的状态变量图如图9-23所示

图9-23

2]，则·301· k

（4）由于

X(t)(t)X(0)(t)bu()dt

0t所以对于原系统，有

(t)L1sIA11s11s11111LL4s1 24s1(s1)4s1(s1)2221L2222(s1)2t1t0.5etsin2t(s1)222ecos2tts1etcos2t2esin2t(s1)222etcos2t0.5etsin2t1X(t)(t)X(0)(t)bu()d tt0ecos2t02esin2tetcos2t＝t2esin2t对于带状态反馈系统，有

1s111L30s12(t)L1sIAbK11s121L1230s1s13s425116s6s7L1s6s7303065s6s7s7s66e6t5e7tL6t7t30e30e1t0

e6te7t6e7t5e6tX(t)(t)X(0)(t)bu()d

6e6t5e7t6t7t30e30e6e6t5e7t6t7t30e30e·302 ·

e6te7t16e7t5e6t0

例 9-35 系统的状态方程为

1001AxBu020x1u x0050(1) 该系统是否是渐近稳定的？ (2) 该系统是否是状态反馈能镇定的？

(3) 设计状态反馈，使期望的闭环极点为12j2,22j2,35 解：（1）该系统的特征值为11,22,35。有两个特征值在右半s平面，因此系统不是渐进稳定的。

（2）由动态方程知，系统是不能控的，但不能控部分的特征值是－5，位于左半s平面，因此系统是状态反馈能镇定的。

（3）不能控部分的极点为35，与其中一个期望极点相同。设Kk1对能控部分进行极点配置。

k2，

k210k1k21k1AABK2k202k1k2k1(1k1)k2f()IAk1(2k2)2(3k1k2)(1k1)(2k2)k1k22(3k1k2)(22k1k2)f*()(2j2)(2j2)248由f()f*()得

(3k1k2)4 22k1k28解得 k113,k220 例9-36 设系统的状态方程为

21(t)0XX(t)351u(t)1X(0)0（1）分析系统的稳定性；

·303·

（2）已知u(t)为单位阶跃函数，求系统状态方程的解。 解：（1）由题意得

20A,35系统特征方程为

1b

1(2)(3)0

det[IA]235At则系统矩阵A有特征值12,23，由李雅普诺夫第一法知系统是渐进稳定的。 （2）先求系统状态转移矩阵(t)e解法 一： 用无穷级数法。

(t)eAtIAt122133AtAt 2!3!23210221023100ttt 3!35013523519323213t5t2t5tt3 1525731926533ttt15ttt2626解法二：拉氏变换法。 因 (sIA)所以

1s23s51s5212

s5s63s(t)L1[(sIA)1]31s2L3s22s33s32s22s22s3 3s33e2t2e3t3t2t3e3e系统特征方程为：

2e2t2e3t3e3t2e2t解法三：待定系数法（即凯莱－哈密顿定理）。

det[IA]·304 ·

235256(2)(3)0

则系统矩阵A有两个互异特征值12,23。

a0(t)11e1t12e2t3e2t2e3t a(t)12t133t2t3teeee2111(t)eAta0(t)Ia1(t)A(3e2t2e3t2102t3t0)(ee)35

013t2e2t2e3t2t3e2e3e2t2e3t3t2t3e3e系统状态方程的解为

X(t)(t)X(0)(t)bu()d0t3e2t2e3t3t2t3e3e2e2t2e3t13t2t03e2e3e2(t)2e3(t)03e3(t)3e2(t)t2e2(t)2e33e3(t)(t)12e2(t)d15e2(t)4e3(t)d06e3(t)5e2(t)752t43t2t3t3e2e62e3e3t2t13e3e5e2t2e3t22712t23t62e3e112t3tee223e2t2e3t3t2t3e3et 例9-37 试求下列系统的平衡状态和李雅普诺夫函数。

12][xx 13解：解法一： 用常规解法，由于系统的状态矩阵A为非奇异矩阵，因此该系统唯一的平衡状态是xe＝0。设系统的李雅普诺夫函数为V(x)xPx，其导函数为

T(x)xTQx，VQ0，Q均为对称矩阵。则APPAQ，且P0，取QI，P、

T则上式即为：

11P1123P12

P12P11P22P12P1212101301 P22·305·

P11解得 PP12由于p1P121117 P2276811170，p2det[P]0，因此对称矩阵P正定，故系统稳定，且

64811732 V(x)xTPxx12x1x2x2844是该系统的一个李雅普诺夫函数。

解法二： 首先设P＝I，再验证Q是否正定，若Q正定则所选P符合李雅普诺夫函数条件。设P＝I，则

23Q(ATPPA)(ATA)36q120,所以Q正定，表明该系统稳定，且

2V(x)xTPxx12x2

q2det[Q]30也是该系统的一个李雅普诺夫函数。 例9-38 系统的状态空间模型为

11046116X2uX61153y123X试将它化为对角线标准型。

解：解法一：（1）求A特征值

11(1)(2)(3)0det[IA]6116

115611,22,33(2) 求非奇异矩阵T。

由 iPiAPi，对于11，有

11P111P1110P11116116P 则 PP0

1P1121112112P1136115P113P1131·306 ·

对于22，有

11P211P2110P21116116P 则 PP2

2P2122212212P2136115P213P2134对于33，有

P311011P311P31113P3126116P 则 PP61153123312P3136P313P3139故非奇异矩阵

111TP1P2P3026

91435/22T1343

/2113(3) 对系统作非奇异变换。

AT1AT35/223430111111063/21116026021611514900b~35/22T1b343411211 13/2134111C~CT12302641740 914所以系统状态空间模型的对角线标准形为

X~10011X~b~u020X~11u 0034yC~X~41740X~

003 ·307·

解法二： 本题也可以用代数余子式的方法求非奇异矩阵。设Pi11，Pi12，Pi13是行列式det[IA]的第一行的代数余子式，则

Pi11分别将1,i11116i5,Pi12666i5,Pi136i11611

2,3代入上式，即可得非奇异矩阵T：

P111TP112P113P211P212P213P3116320612

P312P31361218为计算简便，将T的各元素同除以6，这样并不影响结果，则

11/21/3,T012312T135/22

68639/231111/21/335/220611601T1AT6862339/23611512

01002003035/22411~222 bT1b68639/2331211/21/3~417/240/3 CCT123012312从以上两解法可知，特征向量、非奇异矩阵的选取是不唯一的，因而状态空间表达式也不唯一。

例9-39 已知一线性系统

AXbu,X10A,321b

1（1）证明对系统作线性非奇异变换后其特征值不变；

·308 ·

（2）将状态方程化为对角线规范形； （3）将状态方程化为可控规范形。 解:（1）令线性变换为XT~1X（T为非奇异矩阵），则状态方程线性变换后为

X~T1ATX~T1bu

线性变换后系统的特征多项式为

IT1ATT1TT1ATT1ITT1ATT1(IA)TT1IATT1TIAIIAIA表明与变换前的特征多项式相同，故特征值不变。

（2）求A的特征值。

IA1032(1)(2)0

11,22,a02,a11由iPiAPi可知，当11时，

P11110P1111PP1111P32P,1112112P1

112当22时，

P21110P211PP2112P21232P,212P021

212故

TP1P10211

则 T11011 T1AT1002,b~T1b12

状态方程对角线规范形为：

309· ·

1~10XX2u

02（3）系统的可控矩阵为

Mcb11Ab,15rank[Mc]2

则系统状态完全可控，存在可控规范形，得

1Tc[Abb]a101110211511141

1/61/6Tc12/31/301~ATc1ATc,21可控规范形为 X例9-40 设系统方程为

0~bTc1b1~01~0X1u 211(t)x2(t)x

2(t)x13(t)x2(t)x试用李雅普诺夫第二分法析系统的稳定性。

解： 考察正定的向量泛函V(x)x12x2，其导函数为

332(x)4x3xV114x2x24x1(x2)4x2(x1x2)4x2

42(x)0的自由运显然，这是一负半定函数，故为了讨论该系统的稳定性，还需要考察V2x1x2得x10，故x≡0；动轨迹，由系统的状态方程可导出：若x20，由x(x)0，(x)0不可能维持在x0V而若V则x20，得x10，因而x≡0，也就是说，

423的地方。由李雅普诺夫第二法可知，该系统是大范围渐近稳定的，且V(x)x12x2是该系统一个李雅普诺夫函数。

例9-41 系统状态方程为

3000130x1u x0101·310 ·

解: 求系统特征方程

y110x

判断：x0是否渐近稳定；系统是否BIBO稳定。

s3sIA100s3000(s3)2(s1)0 s11可见，系统有在右半s平面的特征根，所以系统不是渐近稳定的。

00s3 G(s)C(sIA)1B1101s300s1001 1000(s3)(s1)111

110s1(s3)(s1)0s3(s3)2(s1)200(s3)1可见，系统传递函数的极点具有负实部，所以系统是BIBO稳定的。 例9-42 求系统xAx的李雅普诺夫函数，并分析系统的稳定性。 式中 A10 22解: 取正定对称矩阵Q为二阶单位矩阵，代入方程

ATPPAQ

即 02p1112p12p12p11p22p12p120110 p2222014p121可得 p112p122p220

4p2p12212联立求解得 Pp11p125p124p221212 38一阶主子式 150 4·311·

5二阶主子式 24121270 3328故P正定，系统在平衡点xe0处全面渐近稳定。系统的一个李雅普锘夫函数为

V(t)xTPxx1

54x21212x15x2xx3x2122413x828

(t)xTQxxV110x122x2(xx12)x012例9-43 已知线性离散系统齐次状态方程为

x(k1)x(k)

010式中 001 ａ>0

02a0试用李雅普诺夫确定使平衡点xe0处渐近稳定时ａ的范围。

解: 选Q=I，并代入离散系统的P，Q关系式

TPPQ

即

000p11102ap12010p13p12p22p23p13010p11001pp2312p3302a0p13p12p22p23p13100010

p23p33001将此矩阵展开，解之可得

p11Pp12p13p12p22p23p131p230p330024a214a2000

314a2可见，要使P正定，只要需使1－4a2>0。加上条件a>0，可得使系统渐近稳定的a范围为：

0〈a〈1/2

·312 ·

例9-44 已知系统的状态方程为

AXbu,X式中， AyCX

02,200b,2C10

（1）说明系统的能控性和能观性；

（2）若在控制u前加入采样器－零阶保持器，求该采样系统的状态变量表达式，并分析系统在各采样时刻，周期T对能控性和能观性的影响。

（3）比较（1）、（2）简要说明采样过程对能控性和能观性的影响。 解：（1）对于连续系统，有

rankb04Abrank2n220

C10rankrank2n2CA02故系统状态完全能控和能观。

（2）对离散化系统，有

1s21At11(t)eLsIAL2s2s1s221s4s24 L12L22sss422s4s4cos2tsin2tsin2tcos2t则

cos2T(T)sin2TTsin2T

cos2TTcos2sin20T2sin2G(T)()bd2d02cos2d00sin2cos2 Tsin21cos2Td20cos2sin2T C10

·313·

离散化状态空间表达式为

x(k1)(T)x(k)G(T)u(k)cos2Tsin2T1cos2Tx(k)sin2Tu(k) sin2Tcos2Ty(k)10x(k)对离散化系统，有

cos2T1cos2Tsin22Tcos22TMcGGsin2T2sin2Tcos2Tsin2TC1MoCcos2Tk,2

0sin2T显然，Mc、M0是否满秩，取决于采样周期T的选择，下面分两种情况予以讨论。 a．取Tk1,2,，则有

cosk1cosksin2kcos2krank[Mc]rank2sinkcosksinksink**1n00

10rank[MO]10 *0由此可见，此时离散后的系统为状态不完全能控和不完全能观的系统（*处表示不为0）。

b. 取Tk,2k1,2,，则有

det[Mc]cos2T1cos2Tsin22Tcos22Tsin2T2sin2Tcos2Tsin2T

2Tk2sin2T(4cos2T4cos2T2)0det[Mo]1cos2T0sin2Tsin2TTk0

2由此可见，当Tk/2时，Mc和M0均满秩，即有

·314 ·

rank[Mc]2n,故离散化后的系统为状态完全能控和完全能观的。

rank[Mo]2n

（3）从上述计算可知，状态完全能控和完全能观的连续系统经离散化处理以后，不一定能保持原系统的状态完全能控和完全能观，其结果与采样周期T的选择有关，另外，当连续系统不完全能控和不完全能观时，对应的离散化系统则一定是不可观的。

例9-45 Let us consider the third –order system with the differential equation

d3yd2ydy532yu

dtdt3dt2We can select the state variables as the phase variables so that

x1y,x2dy/dt,x3d2y/dt2

and then

1000x0uAxBu 0x012351Where yx1.If the state variable feedback matrix K is

Kk1k2k3

and u=－Kx

AxBKx(ABK)x then xThe state feedback matrix is

100

ABK001(2k1)(3k2)(5k3)and the characteristic equation is

det[ABK]s3(5k3)s2(3k2)s(2k1)

If we seek a rapid response with a low overshoot ,we choose characteristic equation as

2(s22nn)(sn)

We choose 0.8for minimal overshoot and n to meet the settling time requirement. If we want a settling time (2% criterion) equal to second ,then

·315·

ts4n41

(0.8)nIf we choose n6,the desired characteristic equation is

(s29.6s36)(s4.8)s314.4s282.1s172.8

Therefore we require k19.4,k279.1 ,and k3170.8. The step response has no overshoot and a settling time of 1 second ,as desired.

例9－46 consider the third-order system

Y(s)2s28s6G(s) (9.1)

R(s)s38s216s6obtain a state-space representation using the ss function .The state-space representation of Eq.(9.1) is given by Eq.(9.2)

820.752, B0.

A8001000And

C10.50.375, D0 (9.2)

The state-space representation of the transfer function in Eq.(9.1) is depicted in Fig. 9.1

(s) R 1 0.2 1 sx1 8 1 sx2 1 sx3 0.37Y(s) -8 -2 -0.7 FIGURE 9.1 Block diagram with x1 defined as the leftmost state variable.

·316 ·