一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分) 1.下列图形中,中心对称图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
,堤高BC=5m,则坡面AB的长
2.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan∠CAB=1:是( )
A.5 m B.10m C.5m D.8 m
3.在平面直角坐标系中,函数y=(x+3)(x﹣5)的图象经变换后得到y=(x+5)(x﹣3)的图象,则这个变换可以是( ) A.向左平移2个单位 C.向上平移2个单位
B.向右平移2个单位 D.向下平移2个单位
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=4,则AC的长为( )
A.6 B.5 C. D.
5.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2:3,△ABC的面积为40,则△DEF的面积为( ) A.60
B.70
C.80
D.90
6.反比例函数y=的图象在第二、四象限,点A(﹣2,y1)、B(4,y2)、C(5,y3)
是图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2
D.y2>y3>y1
7.下列命题中,假命题是( )
A.凡有内角为30°的直角三角形都相似 B.凡有内角为45°的等腰三角形都相似 C.凡有内角为60°的直角三角形都相似 D.凡有内角为90°的等腰三角形都相似
8.如图,DA=DC, 四边形ABCD内接于⊙O,若∠CBE=55°,则∠DAC的度数为( )
A.70° B.67.5° C.62.5° D.65°
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列命题中:①b=﹣2a;②此抛物线向下移动c个单位后过点(2,0);③﹣1<a<﹣;④方程x2﹣2x+=0有实数根,结论正确的个数( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积分别为SABCD和SBFDE,现给出下列命题 ①若
,则
;②若DE2=BD•EF,则DF=2AD.则( )
B.①是真命题,②是假命题 D.①是假命题,②是假命题
A.①是真命题,②是真命题 C.①是假命题,②是真命题
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a是常数,且a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连结AC,将线段AC绕点A顺时针旋转90°,得到线段AD,连结BD.当BD最短时,a的值为 .
12.如图,跷跷板AB的一端B碰到地面,AB与地面的夹角为18°,且OA=OB=3米,跷动AB,使端点A碰到地面,在此过程中,点A运动路线的长是 .
13.如图,点A、B在反比例函数y=OB,则△OAB的面积是 .
的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,连接OA、
14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=4,BD=2,AC,BD相交于点O,过点C作CE ⊥AB交AB的延长线于点E,过点O作OF⊥CE交CE于点F,则OF的长度为 .
三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
15.计算:cos30°tan60°+sin245°.
16.如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣3,2),B(﹣1,3),C(﹣1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的位似比为2:1.
四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
17.已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(1,﹣3),(0,﹣1). (1)求抛物线的表达式;
(2)用配方法求出该抛物线的顶点坐标.
18.如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8m,宽AB为1m,该隧道内设双向行驶的车道(共有2条车道),若现有一辆货运卡车高4m,宽2.3m.则这辆货运卡车能否通过该隧道?说明理由.
五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)
19.如图所示,某建筑物楼顶有信号塔EF,卓玛同学为了探究信号塔EF的高度,从建筑物一层A点沿直线AD出发,到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F,测得仰角∠ACF=60°,AC长7米.接着卓玛再从C点出发,继续沿AD方向走了8米后到达B点,此
时刚好能看到信号塔的最低点E,测得仰角∠B=30°.(不计卓玛同学的身高)求信号塔EF的高度(结果保留根号).
20.已知,矩形ABCD,点E是AD上一点,将矩形沿BE折叠,点A恰好落在BD上点F处.
(1)如图1,若AB=3,AD=4,求AE的长;
(2)如图2,若点F恰好是BD的中点,点M是BD上一点,过点M作MN∥BE交AD于点N,连接EM,若MN平分∠EMD,求证:DN•DE=DM•BM.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
21.如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,点A是⊙O上的定点,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DG∥BC,交AC延长线于点G. (1)求证:DG与⊙O相切;
(2)作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,试判断线段BE、CF、EF三者之间的数量关系,并证明你的结论(不用尺规作图的方法补全图形).
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
22.公司经销的一种产品,按要求必须在15天内完成销售任务.已知该产品的销售价为62元/件,推销员小李第x天的销售数量为y件,y与x满足如下关系:y=
(1)小李第几天销售的产品数量为70件?
(2)设第x天销售的产品成本为m元/件,m与x的函数图象如图,小李第x天销售的利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?
八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
23.AD=9,D重合)如图1,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上任意一点(不与B、,点O是BD的中点,连接PC,过点P作PE⊥PC交直线AB于点E.
初步感知:当点P与点O重合时,比较:PC PE(选填“>”、“<”或“=”).再次感知:如图1,当点P在线段OD上时,如何判断PC和PE数量关系呢? 甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线,构造全等三角形,证明出PC=PE; 乙同学通过连接PA,证明出PA=PC,∠PAE=∠PEA,从而证明出PC=PE. 理想感悟:如图2,当点P落在线段OB上时,判断PC和PE的数量关系,并说明理由.拓展应用:连接AP,并延长AP交直线CD于点F. (1)当
=时,如图3,直接写出△APE的面积为 ;
(2)直接写出△APE面积S的取值范围.
参与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分) 1.解:第一个图形是中心对称图形; 第二个图形不是中心对称图形; 第三个图形是中心对称图形; 第四个图形不是中心对称图形. 故共2个中心对称图形. 故选:B. 2.解:∵tan∠CAB=
=
=
,
∴在Rt△ABC中,∠BAC=30°, 又∵BC=5m, ∴AB=2BC=10m, 故选:B.
3.解:y=(x+5)(x﹣3)=(x+1)2﹣16,顶点坐标是(﹣1,﹣16). y=(x+3)(x﹣5)=(x﹣1)2﹣16,顶点坐标是(1,﹣16).
所以将抛物线y=(x+3)(x﹣5)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x+5)(x﹣3),故选:A.
4.解:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=4,则sinA=所以AB=6.
所以由勾股定理知,AC=故选:C.
=
=2
.
=
=.
5.解:∵△ABC与△DEF相似,相似比为2:3, ∴面积比为4:9, ∵△ABC的面积为40,
∴△DEF的面积为90, 故选:D.
6.解:∵反比例函数y=的图象在第二、四象限,点A(﹣2,y1)、B(4,y2)、C(5,y3)是图象上的三点, 又∵﹣2<0<4<5, ∴y1>y3>y2, 故选:B.
7.解:A、凡有内角为30°的直角三角形都相似,所以A选项的命题为真命题; B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似,所以B选项的命题为假命题; C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题; D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似,所以D选项的命题为真命题. 故选:B.
8.解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠CBE=55°, ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣55°=125°, ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣125°=55°, ∵AD=DC,
∴∠DAC=∠DCA=(180°﹣∠DAC)=(180°﹣55°)=62.5°, 故选:C.
9.解:①函数的对称轴为x=﹣
y=ax2+bx=ax2﹣2ax=ax ②此抛物线向下移动c个单位后,新抛物线表达式为:(x﹣2),则x=2时,y=0,故抛物线过点(2,0),故正确;
③x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,x=1时,y=a+b+c=2,即故错误;
④∵c>0,
,解得:a=﹣,
=1,解得:b=﹣2a;故正确;
∴x2﹣2x+=0变形为cx2﹣2cx+1=0, ∵△=4c2﹣4c=4c(c﹣1),而1<c<2, ∴△>0,故方程x2﹣2x+=0有实数根,故正确 故选:C.
10.解:①设CF=x,DF=y,BC=h,则由已知菱形BFDE,BF=DF=y 由已知得:得:=
=
,
,
,即cos∠BFC=
∴∠BFC=30°, 由已知 ∴∠EDF=30° ∴tan∠EDF=
,
所以①是真命题.
②已知菱形BFDE,∴DF=DE S△DEF=DF•AD=BD•EF, 又DE2=BD•EF(已知), ∴S△DEF=DE2=DF2, ∴DF•AD=DF2, ∴DF=2AD, ∴②是真命题. 故选:A.
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.解:如图,过点D作DE⊥x轴于点E,则∠AED=90°,
令y=0得:ax2﹣4ax+3a=0, 解得:x1=1,x2=3. ∴OA=1,OB=3, 令x=0,得:C(0,3a). ∵旋转,
∴AC=AD,∠CAD=90°, ∴∠CAO+∠DAE=90°, ∵∠COA=90°, ∴∠CAO+∠ACO=90°, ∴∠DAE=∠ACO, 在△ACO和△DAE中,
∴△ACO≌△DAE(AAS). ∴DE=OA=1,AE=OC=3a, ∴BE=AE﹣AB=3a﹣2,
∴在Rt△BDE中,由勾股定理得: BD2=BE2+DE2=(3a﹣2)2+1≥1. 当3a﹣2=0,即a=时,BD取得最小值. 故答案为:.
12.解:以点O为圆心,OA长为半径画弧,交地面于点D,则端点A运动路线的长为
=
.
就是端点A运动的路线.
答:端点A运动路线的长为m.
13.解:∵点A、B在反比例函数y=的图象上,A、B∴A(4,3),B(2,6), 作AD⊥y轴于D,BE⊥y轴于E, ∴S△AOD=S△BOE=×12=6,
∵S△OAB=S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE=S梯形ABED, ∴S△AOB=(4+2)×(6﹣3)=9, 故答案为9.
14.解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=2,BO=1,AC⊥BD, ∴AB=
=
=
,
∵S菱形ABCD=×AC×BD=AB×CE, ∴4=×CE,
∴CE=
,
∵∠OFC=∠AEC=90°,∠ACE=∠OCF, ∴△OCF∽△ACE, ∴
,
∴CE=2CF,
3和6,的纵坐标分别是
∴CF=EF=∴OF=故答案为:
, =.
=
,
三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分) 15.解:原式==+ =2.
16.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求. (2)如图,△A2B2C2即为所求.
×
+(
)2
四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分) 17.解:(1)把(1,﹣3)(0,﹣1)代入y=2x2+bx+c得解得b=﹣4,c=﹣1,
∴抛物线的表达式为y=2x2﹣4x﹣1 (2)∵y=2x2﹣4x﹣1=2(x﹣1)2﹣3 ∴顶点坐标(1,﹣3).
18.解:这辆货车可以通过该隧道.理由如下: 根据题意可知,如图,在AD上取G,使OG=2.3m, 过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E, 则GF=AB=1m,
圆的半径OE=AD=×8=4m, 在Rt△OEG中,由勾股定理,得 EG=
=
>3, +1>3+1=4,
所以点E到BC的距离为EF=故货车可以通过该隧道.
五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分) 19.解:在Rt△ACF中,∵∠ACF=60°,AC=7米, ∴AF=AC•tan60°=7∵BC=8米, ∴AB=15米,
在Rt△ABE中,∵∠B=30°, ∴AE=AB•tan30°=15×∴EF=AF﹣AE=7
﹣5
=5=2
米, (米), 米. 米,
答:信号塔EF的高度为2
20.解:(1)∵矩形ABCD中,∠BAD=90°,AB=3,AD=4, ∴
=
=5,
∵AE=EF,∠A=∠EFB=90°, ∴∠EFD=90°, ∴∠EFD=∠BAD, ∵∠EDF=∠ADB, ∴△DEF∽△DBA, ∴
,
设AE=EF=x,则DE=4﹣x,
∴
解得x=, ∴AE=;
(2)证明:∵F为BD的中点,∠A=∠BFE=90°, ∴BE=DE, ∴∠EBD=∠EDB, ∵MN∥BE, ∴∠NME=∠BEM, 又∵MN平分∠EMD, ∴∠NMD=∠NME, ∴∠NMD=∠BEM ∴△BEM∽△DMN, ∴∴
, ,
∴DN•DE=DM•BM.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
21.(1)证明:连接OD,BD,DC,
∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴
=
,
∴BD=DC, ∵BO=CO,
∴OD⊥BC, ∵DG∥BC, ∴OD⊥DG, ∵OD过O, ∴DG与⊙O相切;
(2)BE﹣CF=EF,
证明:
∵BC为⊙O的直径,BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠BDC=90°,∠BED=∠DFC=90°, ∴∠BDE=∠DCF=90°﹣∠FDC, 在△BED和△DFC中,
∴△BED≌△DFC(AAS), ∴BE=DF,CF=DE, ∴BE﹣CF=DF﹣DE=EF.
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分) 22.解:(1)若8x=70,得x=则5x+10=70,解得x=12.
答:小李第12天销售的产品数量为70件. (2)由函数图象可知: 当0≤x≤5,m=40, 当5<x≤15时,设m=kx+b,
>5,不符合题意;
将(5,40)(15,60)代入,得
,解得
∴m=2x+30.
①当0≤x≤5时,w=(62﹣40)•8x=176x, ∵w随x的增大而增大,∴当x=5时,w最大为880;
②当5<x≤15时,w=(62﹣2x﹣30)(5x+10)=﹣10x2+140x+320, ∴当x=7时,w最大为810. ∵880>810,
∴当x=5时,w取得最大值为880元. 答:第5天时利润最大,最大利润为880元. 八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
23.解:初步感知:当点P与点O重合时,则点E与B重合, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BCD=90°, ∵点O是BD的中点, ∴OC=OB=BD, ∴PC=PE, 故答案为:=;
理想感悟:PC=PE,理由如下:
如图2,过点P作GH⊥AB于G,交CD于H,
,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∠ABD=45°,∠A=∠ABC=90°, ∵GH⊥AB, ∴GH⊥CD,
∴∠EGP=∠PHC=90°, ∴∠GEP+∠GPE=90°, ∵PE⊥PC, ∴∠EPC=90°, ∴∠GPE+∠CPH=90°, ∴∠GEP=∠CPH,
∵∠ABD=45°,∠EGP=90°, ∴△BGP是等腰直角三角形, ∴BG=GP.
∵∠EGP=∠PHC=∠ABC=90°, ∴四边形BGHC为矩形, ∴BG=CH, ∴CH=GP,
在△EGP和△PHC中,
,
∴△EGP≌△PHC(AAS). ∴PC=PE;
拓展应用:(1)如图3,过点P作GH⊥AB于G,交CD于H,
由理想感悟知:△EGP≌△PHC, ∴EG=PH,
∵∠AGP=∠PHD=∠ADC=90°, ∴四边形AGHD为矩形, ∴AG=DH,
∵∠BDC=45°,∠PHD=90°, ∴△PHD是等腰直角三角形, ∴DH=PH. ∵∴
=, =,
∵DC=AB, ∴
=,
∵AB∥CD, ∴△DFP∽△BAP, ∴
=
=,
又∵GH=AD=9, ∴PH=,PG=
,
∴EG=DH=PH=, ∴AG=DH=, ∴AE=AG+GE=,
∴△APE的面积为: AE•PG=××故答案为:
.
=
.
(2)设PH=x,则PG=9﹣x, 由题意可知:AG=EG=DH=PH=x, 则S=AE•PG =×2x×(9﹣x) =﹣∵0<x<9, ∴0<S<
. +
,
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