2020-2021学年人教版九年级上册数学期末复习试卷1(有答案)

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．下列图形中，中心对称图形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

，堤高BC＝5m，则坡面AB的长

2．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：是（ ）

A．5 m B．10m C．5m D．8 m

3．在平面直角坐标系中，函数y＝（x+3）（x﹣5）的图象经变换后得到y＝（x+5）（x﹣3）的图象，则这个变换可以是（ ） A．向左平移2个单位 C．向上平移2个单位

B．向右平移2个单位 D．向下平移2个单位

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（ ）

A．6 B．5 C． D．

5．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ） A．60

B．70

C．80

D．90

6．反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）

是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3

B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y1＞y2

D．y2＞y3＞y1

7．下列命题中，假命题是（ ）

A．凡有内角为30°的直角三角形都相似 B．凡有内角为45°的等腰三角形都相似 C．凡有内角为60°的直角三角形都相似 D．凡有内角为90°的等腰三角形都相似

8．如图，DA＝DC， 四边形ABCD内接于⊙O，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（ ）

A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°

9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣；④方程x2﹣2x+＝0有实数根，结论正确的个数（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题 ①若

，则

；②若DE2＝BD•EF，则DF＝2AD．则（ ）

B．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题

A．①是真命题，②是真命题 C．①是假命题，②是真命题

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为 ．

12．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面，AB与地面的夹角为18°，且OA＝OB＝3米，跷动AB，使端点A碰到地面，在此过程中，点A运动路线的长是 ．

13．如图，点A、B在反比例函数y＝OB，则△OAB的面积是 ．

的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE ⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为 ．

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

15．计算：cos30°tan60°+sin245°．

16．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：

（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

17．已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，﹣3），（0，﹣1）． （1）求抛物线的表达式；

（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．

18．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

19．如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此

时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．

20．已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．

（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；

（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

21．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的定点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DG∥BC，交AC延长线于点G． （1）求证：DG与⊙O相切；

（2）作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，试判断线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论（不用尺规作图的方法补全图形）．

七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

22．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝

（1）小李第几天销售的产品数量为70件？

（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？

八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）

23．AD＝9，D重合）如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上任意一点（不与B、，点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．

初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？ 甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE； 乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE． 理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F． （1）当

＝时，如图3，直接写出△APE的面积为 ；

（2）直接写出△APE面积S的取值范围．

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．解：第一个图形是中心对称图形； 第二个图形不是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形． 故共2个中心对称图形． 故选：B． 2．解：∵tan∠CAB＝

＝

＝

，

∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， 又∵BC＝5m， ∴AB＝2BC＝10m， 故选：B．

3．解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）． y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．

所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣5）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+5）（x﹣3），故选：A．

4．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则sinA＝所以AB＝6．

所以由勾股定理知，AC＝故选：C．

＝

＝2

．

＝

＝．

5．解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3， ∴面积比为4：9， ∵△ABC的面积为40，

∴△DEF的面积为90， 故选：D．

6．解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点， 又∵﹣2＜0＜4＜5， ∴y1＞y3＞y2， 故选：B．

7．解：A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题； B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题； C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题； D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题． 故选：B．

8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°， ∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°， 故选：C．

9．解：①函数的对称轴为x＝﹣

y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax ②此抛物线向下移动c个单位后，新抛物线表达式为：（x﹣2），则x＝2时，y＝0，故抛物线过点（2，0），故正确；

③x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即故错误；

④∵c＞0，

，解得：a＝﹣，

＝1，解得：b＝﹣2a；故正确；

∴x2﹣2x+＝0变形为cx2﹣2cx+1＝0， ∵△＝4c2﹣4c＝4c（c﹣1），而1＜c＜2， ∴△＞0，故方程x2﹣2x+＝0有实数根，故正确 故选：C．

10．解：①设CF＝x，DF＝y，BC＝h，则由已知菱形BFDE，BF＝DF＝y 由已知得：得：＝

＝

，

，

，即cos∠BFC＝

∴∠BFC＝30°， 由已知 ∴∠EDF＝30° ∴tan∠EDF＝

，

所以①是真命题．

②已知菱形BFDE，∴DF＝DE S△DEF＝DF•AD＝BD•EF， 又DE2＝BD•EF（已知）， ∴S△DEF＝DE2＝DF2， ∴DF•AD＝DF2， ∴DF＝2AD， ∴②是真命题． 故选：A．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，

令y＝0得：ax2﹣4ax+3a＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． ∴OA＝1，OB＝3， 令x＝0，得：C（0，3a）． ∵旋转，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠DAE＝90°， ∵∠COA＝90°， ∴∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠DAE＝∠ACO， 在△ACO和△DAE中，

∴△ACO≌△DAE（AAS）． ∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a， ∴BE＝AE﹣AB＝3a﹣2，

∴在Rt△BDE中，由勾股定理得： BD2＝BE2+DE2＝（3a﹣2）2+1≥1． 当3a﹣2＝0，即a＝时，BD取得最小值． 故答案为：．

12．解：以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则端点A运动路线的长为

＝

．

就是端点A运动的路线．

答：端点A运动路线的长为m．

13．解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B∴A（4，3），B（2，6）， 作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E， ∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，

∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED， ∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9， 故答案为9．

14．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝2，BO＝1，AC⊥BD， ∴AB＝

＝

＝

，

∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CE， ∴4＝×CE，

∴CE＝

，

∵∠OFC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠OCF， ∴△OCF∽△ACE， ∴

，

∴CE＝2CF，

3和6，的纵坐标分别是

∴CF＝EF＝∴OF＝故答案为：

， ＝．

＝

，

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15．解：原式＝＝+ ＝2．

16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求．

×

+（

）2

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 17．解：（1）把（1，﹣3）（0，﹣1）代入y＝2x2+bx+c得解得b＝﹣4，c＝﹣1，

∴抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣1 （2）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3 ∴顶点坐标（1，﹣3）．

18．解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： 根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG＝2.3m， 过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E， 则GF＝AB＝1m，

圆的半径OE＝AD＝×8＝4m， 在Rt△OEG中，由勾股定理，得 EG＝

＝

＞3， +1＞3+1＝4，

所以点E到BC的距离为EF＝故货车可以通过该隧道．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 19．解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米， ∴AF＝AC•tan60°＝7∵BC＝8米， ∴AB＝15米，

在Rt△ABE中，∵∠B＝30°， ∴AE＝AB•tan30°＝15×∴EF＝AF﹣AE＝7

﹣5

＝5＝2

米， （米）， 米． 米，

答：信号塔EF的高度为2

20．解：（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4， ∴

＝

＝5，

∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°， ∴∠EFD＝90°， ∴∠EFD＝∠BAD， ∵∠EDF＝∠ADB， ∴△DEF∽△DBA， ∴

，

设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，

∴

解得x＝， ∴AE＝；

（2）证明：∵F为BD的中点，∠A＝∠BFE＝90°， ∴BE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵MN∥BE， ∴∠NME＝∠BEM， 又∵MN平分∠EMD， ∴∠NMD＝∠NME， ∴∠NMD＝∠BEM ∴△BEM∽△DMN， ∴∴

， ，

∴DN•DE＝DM•BM．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

21．（1）证明：连接OD，BD，DC，

∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴

＝

，

∴BD＝DC， ∵BO＝CO，

∴OD⊥BC， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∵OD过O， ∴DG与⊙O相切；

（2）BE﹣CF＝EF，

证明：

∵BC为⊙O的直径，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BDC＝90°，∠BED＝∠DFC＝90°， ∴∠BDE＝∠DCF＝90°﹣∠FDC， 在△BED和△DFC中，

∴△BED≌△DFC（AAS）， ∴BE＝DF，CF＝DE， ∴BE﹣CF＝DF﹣DE＝EF．

七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 22．解：（1）若8x＝70，得x＝则5x+10＝70，解得x＝12．

答：小李第12天销售的产品数量为70件． （2）由函数图象可知： 当0≤x≤5，m＝40， 当5＜x≤15时，设m＝kx+b，

＞5，不符合题意；

将（5，40）（15，60）代入，得

，解得

∴m＝2x+30．

①当0≤x≤5时，w＝（62﹣40）•8x＝176x， ∵w随x的增大而增大，∴当x＝5时，w最大为880；

②当5＜x≤15时，w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320， ∴当x＝7时，w最大为810． ∵880＞810，

∴当x＝5时，w取得最大值为880元． 答：第5天时利润最大，最大利润为880元． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）

23．解：初步感知：当点P与点O重合时，则点E与B重合， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵点O是BD的中点， ∴OC＝OB＝BD， ∴PC＝PE， 故答案为：＝；

理想感悟：PC＝PE，理由如下：

如图2，过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABD＝45°，∠A＝∠ABC＝90°， ∵GH⊥AB， ∴GH⊥CD，

∴∠EGP＝∠PHC＝90°， ∴∠GEP+∠GPE＝90°， ∵PE⊥PC， ∴∠EPC＝90°， ∴∠GPE+∠CPH＝90°， ∴∠GEP＝∠CPH，

∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°， ∴△BGP是等腰直角三角形， ∴BG＝GP．

∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°， ∴四边形BGHC为矩形， ∴BG＝CH， ∴CH＝GP，

在△EGP和△PHC中，

，

∴△EGP≌△PHC（AAS）． ∴PC＝PE；

拓展应用：（1）如图3，过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，

由理想感悟知：△EGP≌△PHC， ∴EG＝PH，

∵∠AGP＝∠PHD＝∠ADC＝90°， ∴四边形AGHD为矩形， ∴AG＝DH，

∵∠BDC＝45°，∠PHD＝90°， ∴△PHD是等腰直角三角形， ∴DH＝PH． ∵∴

＝， ＝，

∵DC＝AB， ∴

＝，

∵AB∥CD， ∴△DFP∽△BAP， ∴

＝

＝，

又∵GH＝AD＝9， ∴PH＝，PG＝

，

∴EG＝DH＝PH＝， ∴AG＝DH＝， ∴AE＝AG+GE＝，

∴△APE的面积为： AE•PG＝××故答案为：

．

＝

．

（2）设PH＝x，则PG＝9﹣x， 由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x， 则S＝AE•PG ＝×2x×（9﹣x） ＝﹣∵0＜x＜9， ∴0＜S＜

． +

，