b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N且n≥2) (11)a>b(n∈N且n≥2)(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则( ) A．－2＜a－b＜0 B．－2＜a－b＜－1
n
n
解：由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2
7
－3＞0，－b2＝28－14－83＝14－83＝8从而a4＞b.故填＞.
(2017·北京)能够说明“设a，b，c是任意实
数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
解：a，b，c是实数，若a＞b＞c＞0，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若a＞0＞b＞c，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若0＞a＞b＞c，a＋b＝c，不等式a＋b＞c不成立，一组整数a，b，c的值为负数，依次为－1，－2，－3.故填－1，－2，－3.
类型一 建立不等关系
(2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆
围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于108 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解：设矩形靠墙的一边长为x m，
则另一边长为30－x2
m，即15－x
2 m， 0＜x≤18，根据题意知
xx
15－2≥108.0＜x≤18，故填x15－x2≥108. 【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．
(2015·湖北改编)设x∈R，[x]表示不超过
x的最大整数，若[t2]＝4，则实数t的取值范围是________．
解：由已知有4≤t2＜5，所以2≤t＜5或－5＜t≤－2.
故填(－5，－2]∪[2，5)．
类型二 不等式的性质
下列说法正确的是( ) A．a，b∈R，且a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，c＞d，则 ab
c＞d
C．a，b∈R，且ab≠0，则ab＋b
a≥2
D．a，b∈R，且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*) 解：当a＝0，b<0时A选项不正确；
当a>0>b，0>c>d时，ab
c<0，d>0，所以B选项不
正确；
当ab<0时，ab<0，b
a<0，所以C选项不正确．
D正确．故选D.
【点拨】运用不等式性质解题时，先从各个代数
式的正负性考虑问题，直接判断各式大小；当各个代数式的正负性一致时，可考虑用不等式的性质进行证明，得出正确选项．
若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.ababc＞d B.c＜d C.ababd＞c D.d＜c
解：由c＜d＜0⇒－11
d＞－c＞0，又a＞b＞0，故
由不等式性质，得－ad＞－bc＞0，所以ab
d＜c
.故选D.
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则
α
2
－β的取值范围是________．
解：由1＜α＜3得1α3
2＜2＜2，由－4＜β＜2得－2
＜－β＜4，所以α2
－β的取值范围是－32，11
2.故填－32，112. 【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相
加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜3
2和－4＜β
＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性
规划也可解．
(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．
解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
x＝5所以x＋y＝2，
解得2，
x－y＝3，
y＝－12
.
所以－52＜52(a＋b)＜152，－2＜－1
2(a－b)＜－1.
所以－9512＜2(a＋b)－2(a－b)＜132
，
即－913
2＜2a＋3b＜2
.故填－92，132. 【点拨】由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．
ππ
(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α
22
－β的取值范围是________．
πππππ
解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜，－＜β
22222
πππ
＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，222
3ππ3ππ－，.故填－，. 所以2α－β＝(α－β)＋α∈2222
x
(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种y
则lgx
2y
的取值范围是________．
解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgx
y
≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
则lgx2y＝2lgx－lgy＝1(lgx＋lgy)＋3
(lgx－lgy)，
222
所以－1≤lgx
y
≤5.故填[－1，5]．
类型四 比较大小
(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则
a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
【点拨】作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
已知a<0，－1立的是( )A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2
的大小．因为－1ab2>a.故选D.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的．
1．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.11
a＜b
C．a2>b2 D．a3>b3
解：A选项，当c<0时，ac0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝－2时，a2b时，有a3>b3，D正确．故选D.2．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不
成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.
3．(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知
a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
11
A．|a|<|b| B.> ab
1a1bC.2＞2 D．lna>lnb
111
解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，＝<＝1，
2ab
1a＝12＝1<1＝11，lna＝ln2>0＝ln1＝lnb.故选D. m（b－a）
，
b（b＋m）
因为b＞a＞0，m＞0，所以a＋ma
＞. b＋mb
解法二(作商比较)：因为b＞a＞0，m＞0， m（b－a）
＞0，所以
b（b＋m）
224224．(2016·山东烟台期中检测)下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则11
a＜b
解：当c＝0时，A不成立；2＞1，3＞－1，而2－3＜1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a＞|b|知a＞0，有a2＞b2.故选C.
5．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.c2
a－b>0
解：A项：当c<0时，不等式a＋cb⇒a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2
a－b＝0.故选
B.
6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，0C．alogbc11，此时－1根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C中的不等式可以化为alogaclogcba
b＞log＝＝logbclogcaab，此时b>1，
0化为lgclglgalgb，进而lga故在已知条件下选项D中的不等式不成立．故选C.7．实数b＞a＞0，实数m＞0，比较a＋mb＋m与a
b
的大
小，则a＋mb＋m
________ab.
解法一：(作差比较)：
a＋ma
b（a＋m）－a（b＋m）b＋m－b＝
b（b＋m）
＝
所以bm＞am⇒ab＋bm＞ab＋am＞0，
所以ab＋bma＋mba＋mab＋am＞1，即b＋m·a＞1⇒b＋m＞ab.故填
＞.
8．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则a，b，c的大小关系为________．
解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝1，所以(lge)2
2＜12·lge＝lge，即b＜c.又因为e＜e，所以lge＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a.
9．已知a＋b＞0，且a≠b，比较1a＋1b与ab2＋b
a2的大小．
解：11
aa＋b－b2＋ba2 ＝a－a2b＋b－b
2a＝(a－b)11a2－b2 ＝(a－b)·（b－a）（b＋a）
a2b2
（a－b）2＝－（a＋b）a2b2.
而a＋b＞0，a≠b，故上式小于0.
从而1a＋1b＜abb2＋a
2. 10．已知下列三个不等式①ab＞0；②cd
a＞b；③
bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形ca＞db⇔bc－ad
ab＞0，由ab＞0，bc
＞ad得②成立，所以①③⇒②. (2)若ab＞0，bc－ad
ab＞0，则bc＞ad，所以①②⇒
③.
(3)若bc＞ad，bc－ad
ab＞0，则ab＞0，所以②③⇒
①.
综上所述可组成3个正确命题． 11．设实数a，b，c满足 ①b＋c＝6－4a＋3a2， ②c－b＝4－4a＋a2.
试确定a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b， 又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
1232所以b－a＝a－a＋1＝a－2＋＞0，
4所以b＞a，从而c≥b＞a.
(2015·云南模拟改编)已知a＋b＋c＝0，且c
a>b>c，求的取值范围．
a
解：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c， 所以a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c，
则a>0，c<0，所以1>－a＋ca＞c
a，
2c
＜－1，即1＞－1－ccaa＞a，所以c
a
＞－2，＜－12
.
故c
1a
的取值范围是－2，－2.解得－2＜c
a
2019年高考数学一轮复习第 6 页 共 6 页
