永嘉县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知函数f(x)cos(x的图象（ A．向右平移

）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

3322． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象

可以为（

）

个单位 B．向左平移

个单位

A． 面积的最大值为4A．等腰三角形

B． C.

）

D．

（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

3． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

，则此时△ABC的形状为（ B．正三角形C．直角三角形

2D．钝角三角形

4． 已知抛物线y4x的焦点为F，A(1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的

面积为（ A.）

B.2C. 22D. 4|PF|的值最小时，PAF|PA|2 2【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.

5． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（　　）

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A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣

）

6． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（

A.4 能力．

B.25C. 5D. 225【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算7． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ A． 2

B．4

C．

）

4 3D．

83【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

8． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ A．x3+2x2

）B．x3﹣2x2

C．﹣x3+2x2

D．﹣x3﹣2x2

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9． 若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（A．2或0

B．0

C．﹣2或0

D．﹣2或2

+x）=f（﹣x），则f（）=（ ）

10．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（

）

A．560m3　

B．540m3C．520m3D．500m3

11．设i是虚数单位，则复数A．第一象限

2i在复平面内所对应的点位于（ ）1iD．第四象限

B．第二象限 C．第三象限

12．若fx是定义在,上的偶函数，x1,x20,x1x2，有（

）

fx2fx10，则

x2x1A．f2f1f3 C．f3f1f2

B．f1f2f3D．f3f2f1二、填空题

13．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN的取值范围为 和基本运算能力．

14．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表

1234推销员编号工作年限x/（年）

353=

x+

1071412年推销金额y/（万元）2由表中数据算出线性回归方程为

．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想

．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年

推销金额为　　　　　　万元．　

15．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N*）中，

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经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为　　　　　　．　　

16．已知函数f（x）=围是　　．17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为　　　　　　．18．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．

，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

三、解答题

19．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．

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20．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

x的图象上（n∈N*），

，求证：对任意正整数n≥2，总有

21．（本题满分13分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x2y60相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线l2：ykxm与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(1,0)，F2(1,0)两点分别作F1Pl2，

131OA()OM，设动点N的轨迹为曲线C.232F1Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索(d1d2)d3是否存在最值？若存在，请求出最值.

22．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

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（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2cos以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（y2sinìïx=2+tcosa为参数，[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标；（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

24．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．

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（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．

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永嘉县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx5,f'xsinxcosx，所以函数336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

325ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

2． 【答案】A 【解析】

cosx2xAcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函试题分析：gx2x,gxA数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.3． 【答案】A【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，sinC=2sin2C，且sinC＞0，

，

，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∴sinC=

∵a+b=8，可得：8≥2

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．

4． 【答案】B

|PF|y2【解析】设P(,y)，则

|PA|4y214y2(1)2y24y21t，则y24t4，t…1，所以.又设4第 8 页，共 18 页

|PF|t12„，当且仅当t2，即y2时，等号成立，此时点P(1,2)，

2|PA|22t4t4(1)22t11PAF的面积为|AF||y|222，故选B.

225． 【答案】D

【解析】

【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D6． 【答案】B

或

7． 【答案】B

8． 【答案】A

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【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．　

9． 【答案】D

【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（

+x）=f（﹣x），

=

，

可知函数的对称轴为x=根据三角函数的性质可知，当x=∴f（

时，函数取得最大值或者最小值．）=2或﹣2

故选D．　

10．【答案】A

【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S1==4，

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m3．故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．　

11．【答案】B【解析】因为

所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B

=2

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12．【答案】D

二、填空题

13．【答案】[2,2]（0£x£2，0£y£2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值范围为[2,2]．

yD2NCMA14．【答案】　

　 ．

B2x【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6，代入回归方程，可得a=﹣当x=8时，y=

，

万元．，所以

=

x﹣

，

估计他的年推销金额为故答案为：

．

【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．　

15．【答案】　

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所

　．

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围成的弓形面积S1，由图知，

，又，所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　

16．【答案】　（0，1）　．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．　

17．【答案】　　．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA=∵bc=4，

=

=，A=60°．可得：sinA=

，

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∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．　

18．【答案】

【解析】由y＝x2＋3x得y′＝2x＋3，∴当x＝－1时，y′＝1，

则曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线方程为y＋2＝x＋1，即y＝x－1，设直线y＝x－1与曲线y＝ax＋ln x相切于点（x0，y0），由y＝ax＋ln x得y′＝a＋1（x＞0），∴

∴a＝0.答案：0

{a＋x0＝1

y0＝x0－1

y0＝ax0＋ln x0

1

)x，解之得x0＝1，y0＝0，a＝0.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）如图

（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，

设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=

cm3

（3）证明：如图，

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在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′

因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；

2016年4月26日20．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，∴

=，化为

，解得a1=．

=

．

=2n+1，

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

（2）证明：对任意正整数n都有

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∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3=

∴当n≥2时，∴

=，

又∴

=．

．

==

=（n+1）（n﹣1）．

=

+…+

．

=

＜

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.

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（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：ykxm代入椭圆C的方程3x4y12中，得

22(4k23)x28kmx4m2120由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，

64k2m24(4k23)(4m212)0，

整理得m4k3 …………7分

22且d1|mk|1k2，d2|mk|1k21当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan||d1d2|，即d3|d1d2|kdd2dd24|m|||1|∴(d1d2)d3(d1d2)|1kk1k222第 16 页，共 18 页

4|m|16 …………10分1m231|m||m|422∵m4k3 ∴当k0时，|m|3∴|m|1143，∴(d1d2)d343……11分3|m|332当k0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时d1d23，d32∴(d1d2)d323243 …………12分

综上1、2可知，(d1d2)d3存在最大值，最大值为43 ……13分22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．　

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）设D点坐标为(2cosq,2sinq)，由已知得C是以O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

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因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，为(-1,1)，极坐标为(2,3p)．4223，故D点的直角坐标4（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

|2k2|1k22k24k10 k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，则kAB2022,22故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 24．【答案】

【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆设椭圆方程

由（4，3）在椭圆上得则椭圆方程为（2）由双曲线设所求双曲线的方程为

；

有相同的渐近线，﹣

=1（λ≠0），

，

，

有相同的焦点，

由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为　

﹣

=1或

﹣

=1．

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