求二次函数解析式的几种方法

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2015年秋季九年级数学辅导资料

第二讲 函数图像性质及应用

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二次函数的图象与基本性质

（一）、知识点回顾

【知识点一：二次函数的基本性质】

开口方向 y＝ax 2y＝ax＋k 2y＝a(x－h)2＋y＝a(x－h) k 2y＝ax2＋bx＋c 顶点 对称轴 最值 增减性 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】

（1） a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；

c=0，图像与y轴的交点在___________；c<0，图像与y轴的交点在___________；

（3）a，b决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b2－4ac决定抛物线与________交点情况：

0与x轴有两个交点△＝b2－4ac0与x轴有一个交点

0与x轴没有交点【知识点三：二次函数的平移】

设m0,n0，将二次函数yax向右平移m个单位得到___________；向左平移m个单位得到___________；向上平移n个单位得到___________；向下平移n个单位得到___________。简单总结为___________，___________。

（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）

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【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】

二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，即变为一元二次方程

ax2bxc0(a0)，从图象上来说，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的

交点的横坐标x的值就是方程ax2bxc0(a0)的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】

（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：yax2bxc，把三点代入表达式列三元一次

方程组求解；

2（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：ya(xh)k；其中抛

物线顶点是(h,k)；

（3） 知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)可选用交点式：

ya(xx1)(xx2)1x(x1x2)

2，特别：此时抛物线的对称轴为直线

（二）、感悟与实践

例1：（1）求二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标和对称轴.

（2）已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

变式练习1-1：二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

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例2：已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图1所示，则有： （1）a ___0,b___0 ,c___0 （2）b2－4ac___0 （3）a+b+c___0 （4）a-b+c___0 2y 21x=1 -1 12O24x 68

图2 图1 34变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：

①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤C、②③④ D、①④⑤

2变式练习2-2：已知二次函数yaxbxc的图像如图3所示，那么一次函数ybxc和

反比例函数y

a

在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） x

C D

例3：（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）

A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1） 变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线y3x向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）

A．y3(x2)3 B．y3(x2)3

222图3 A B

4

C．y3(x2)23D．y3(x2)23

例4：二次函数yx22xk的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程

x22xk0的一个解x13，另一个解x2=（ ）

A、1

B、1 C、2

D、0

图4 2变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二次函数yxpxq（p0）的图象与x轴

1)，△ABC的面积为交于A、B两点，与y轴交于点C(0，（1）求该二次函数的关系式；

二次函数的性质的综合应用 例1. 已知抛物线y12x5． 4y A O C 图6 B x 12x（或yx22x3） 22（1） 把它配方成ya(xh)k的形式；

（2） 写出抛物线的开口方向，顶点M的坐标、对称轴方程；

(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值 。

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(4)当-2（4） 当1（6）求出与y轴交点N的坐标及与x轴的交点P,Q的坐标（点P在点Q的左边）

（7）作出函数的大致图像

（8当x取何值时，函数值y随x增大而增大，y随x值的增大而减小；

（9）图像过点A（2，y1）、B（0，y2）、C（6，y3）、D（4，y4）比较y1，y2，y3，y4的大小

（10）观察图象，当x取何值时，y0，y0，y0；

（11）当x取何值时，y<2;

（12）求△PQM的面积。

（13）求四边形PQMN的面积

例2. 已知抛物线yx22kxk2k2，根据下列条件，求k的值。 (1) (2) (3) (4)

抛物线过原点；

顶点在x轴上；

顶点在y轴上；

顶点在y轴左侧；

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(5) (6) (7) (8) (9)

当x=–1时，函数有最小值；

关于直线x=-1对称；

函数y的值恒大于0；

顶点在x轴上方；

抛物线在x轴上截得的线段长为1；

8.如图，抛物线yxbxc与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

2CBA7

二次函数应用题归类

【基本思想】

一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。 1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。

2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。

二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。 1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。 2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。

三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。 四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。 【最值的确定方法】

1．二次函数在没有范围条件下的最值：

二次函数的一般式yax2bxc(a0)化成顶点式ya(xb24acb2)2a4a，如果自变量的

取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 2．二次函数在有范围条件下的最值：

如果自变量的取值范围x1xx2，如果顶点在自变量的取值范围x1xx2内，则当

bx2a，

4acb2y最值4a，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性

〖2014年中考第23题分类汇总分析〗 一、分段函数型

1.【四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出与的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

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二、与不等式结合型

2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式； （2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由； （3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元?

3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？

三、前期投入，亏损、盈利型

4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示。

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

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(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；

(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。

四、面积有关问题

5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。

五、二次函数与建模(高频型)

6.〖2015调考〗要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．

(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为 (1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

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(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

六、细节变化、陷阱题

9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y≥0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：

（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；

（2）根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？

（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？

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【巩固练习】A组：

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1. 二次函数y=x-2x-6的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；

yx24x2、抛物线标是__________

m2与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与x轴的另一个交点的坐

3、二次函数y=(x1)2－2的图像的对称轴是直线_____________.

4、抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________；若抛物线y=

a(xh)2m形状与它一样，则a=______________

5抛物线y(x2)23的顶点坐标是（）

A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3） 6二次函数y(x1)2的最小值是（）．

2A．2 B．1 C．－3 D．

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7抛物线y2(xm)2n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）

A．(m，n)

2B．(m，n) C．(m，n) D．(m，n)

8、若抛物线yax+c的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点（ ） A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m) 9、二次函数y3x6x5的图象的顶点坐标是（ ） A．(18) ， B．(18)，

C．(1，2)

D．(1，4)

2210、二次函数y(x1)2的图象上最低点的坐标是

A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)

211、若把代数式x2x3化为xmk的形式，其中m,k为常数，则mk= 2 . 212、已知A、B是抛物线yx4x3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________．（写出一对即可） 13、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；

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14、若二次函数y(m1)x2mx2的最大值为

9，则常数m_____； 4B组：1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(

) A.第8秒

B. 第10秒

C.第12秒

D.第15秒。

2抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是直线（） A．x1

B．x1

C．x3

D．x3

3函数y(x2)(3x)取得最大值时，x______．

24、已知二次函数yaxbxc若ac0，则其图象与x轴的位置关系是（）

A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定 5.(2010台州)如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线ya(xm)2n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为()

A．－3 B．1 C．5 D．8

y A(1,4)B(4,4)C

第6题图

第

第7题图

O 第5题图 Dx 6.如图，两条抛物线y1121x1、y2x21与分别经过点2,0,2,0且平行222于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为___

7.(2010株洲）已知二次函数yx2aa1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a1，a0，a1，a2时二次函数的图

象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y. 二次函数应用题练习

1.九·五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。

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（1）当租金为13万元时，能租出多少间商铺？

（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？

（3）若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么范围？

2.一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：y10x500．设经销商每月获得利润为w（元） （1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？

（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取437）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取265）

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4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元． (1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？

5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润如图12-①所示；种植花卉的利润润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

与

关于投资量的函数关系式；

与投资量成正比例关系，

与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利

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6. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的

一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由．

7.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。

8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米．(铝合金条的宽度忽略不计)

（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；

（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？

（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

CH图7DBAGF0.5米E的长度；

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