二次型

§5.1 习题

1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．

2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使PAP是对角形式：

121A211;113 (i)

01A11(ii)

1011110111;10

11A11(iii)111421.241111

3．写出二次型

|ij|xxii1j133j的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价

的二次型，使后者只含变量的平方项．

4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件AA． (i)A必与如下形式的一个矩阵合同：

001100110000

(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．

(iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．

§5.2 复数域和实数域上的二次型

1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得

SAA．

2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

OIvOIv,若n2v;IvOOIvOOOO,若n2v1.1

3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：

OIvOIvOOOOO或IvIn2vOIvOOO.In2v O4．证明，一个实二次型q(x1,x2,,xn)可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．

5．令

3406A453,B010.332609

证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得PAPB．

6．确定实二次型x1x2x3x4x2n1x2n的秩和符号差． 7．确定实二次型ayzbzxcxy的秩和符号差．

8．证明，实二次型§5.3 正定二次型

(ijij)xxii1j1nnj(n1)的秩和符号差与无关．

1．判断下列实二次型是不是正定的:

222(i)10x12x23x34x1x24x1x3;

222(ii)5x1x25x34x1x28x1x34x2x3.

2．取什么值时,实二次型

222(x12x2x3)2x1x22x2x32x3x1x4

是正定的.

3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数t,使得tIA是正定的.

4．证明,n阶实对称矩阵A(aij)是正定的,必要且只要对于任意

1i1i2ikn,,k阶子式

ai1i1ai2i1aiki1ai1i2ai2i2aiki2ai1ikai2ik0,k1,2,,n.aikik

5．设A(aij)是一个n阶正定实对称矩阵.证明

detAa11a22ann

当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.

[提示:对n作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]

6．设A(aij)是任意n阶实矩阵.证明

22(detA)(a12ja2janj)2j1n(阿达马不等式).

[提示:当detA0时,先证明A'A是正定对称矩阵,再利用习题5.] §5.4 主轴问题

'1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得UAU具有对角形式:

abAba(i);

211A121112(ii);

05200022A0052022(iii)0

2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得

AS2．

3．设A是一个n阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得AUS．

[提示: A'A是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得A'A=S.再看一下U应该怎样取．]

4．设{Ai}是一组两两可交换的n阶实对称矩阵.证明,存在一个n阶正交矩阵

'U,使得UAiU都是对角形矩阵.

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