罗荣建
【摘 要】椭圆双曲线焦点弦问题是高考经常考查的内容,用常规方法解答此类问题,计算量大,多数考生费时费力最终不能圆满计算出结果,文章给出解答此类问题的一种新方法.
【期刊名称】《文山学院学报》 【年(卷),期】2013(026)003 【总页数】5页(P37-41)
【关键词】高考真题;椭圆双曲线;焦点弦 【作 者】罗荣建
【作者单位】马关县第一中学,云南马关663700 【正文语种】中 文 【中图分类】O122
查阅近6年的高考真题，椭圆双曲线焦点弦问题在高考中最常见，在全国及各省市的高考题中。焦点弦问题较多。解答此类题的方法最常见的有两种，一是用弦长公式求解。二是用圆锥曲线的定义，即圆锥曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于常数 来求解。两种方法的优点是入手容易，缺点是化简计算太复杂，特别是碰上含有两个参数以上的参数方程的化简更是难上加难。
为解决椭圆双曲线焦点弦计算难的问题，笔者在多年高三教学实践中，发现了解答椭圆双曲线焦点弦问题的一组结论，用它来解决椭圆双曲线焦点弦问题显得简易快
捷。笔者先给出三个定理及其推论的证明。
定理1 若椭圆的左右焦点是F1，F2。过焦点F2且倾斜角为θ的直线L与 C相交于A，B两点，则焦点弦。 证明：如图1，设（c为半焦距） 根据椭圆的定义，。［1-2］ 于是，在中，由余弦定理得： 化简后得
同理，在中，由余弦定理得： 化简后得： 所以，。
推论：若r1，r2是椭圆同焦点弦的两个焦半径，则。
定理2 若双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过焦点F2且倾斜角为θ的直线L与C相交于一支上的A，B两点，则焦点弦。 证明：如图2，设。 根据双曲线的定义［1-2］。 于是在BF2F1中，
（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos（π-θ）。 化简后得：。 同理，在AF2F1中，
（2a+r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ 化简后得：， 所以，。
推论：若r1，r2是双曲线同焦点弦的两个焦半径，则。
定理3 若双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为θ的直线L
与C相交于双曲线的左右两支交点分别是A，B，则焦点弦。 证明：如图3，设。 根据双曲线的定义，。 于是，在BF2F1中， 根据余弦定理，
（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos θ 化简整理后得：。 同理，在AF2F1中， 根据余弦定理，
（r2-2a）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ 化简整理后得，。 所以，。
推论：若r1，r2是双曲线同焦点弦的两个焦半径，则。
事实上，以上三个定理的共同特征有4个：（1）它们指出了在椭圆双曲线中的常数a、c，直线的倾斜角θ和弦（或F分所成的比r1/r2）这三组量之间的相互关系。在这三组量中，知道其中两组量就可以求另一组量；（2）三个定理的推导简单直观，它给出了解椭圆双曲线焦点弦问题的另一种方法，定理的推导过程就是解题的步骤，所以结论不需要记忆；（3）推论是用来解决椭圆双曲线焦点F分所成的比r1/r2的常用关系式，在解答相关高考问题时非常好用；（4）用三个定理解决椭圆双曲线的焦点弦问题，解题思路清晰，推理过程简单，实用性强、操作方便，它突破了用常规解法解答焦点弦问题时碰到的化简难困扰。
当椭圆双曲线的焦点在y轴上时，三个定理形式类同，推导过程完全类似，请读者自己试一试。 现举例对比分析如下：
例1 （2010年辽宁理科数学高考真题［3］）如图4，设椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60°，。 ① 求椭圆C的离心率； ② 如果，求椭圆C的方程。 解法1：（常规解法）
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1y2＜0 。 ① 直线L的方程为，其中，
点评：本题的解答，考生感到最困难的是把直线方程代入椭圆方程后的消元化简整理，因为计算难，导致学生失去信心而计算不出结果，费时费力。 解法2.（新解法） 解：如图4，
① 根据椭圆的焦点弦定理推论，
因为，，θ =60°，代入（1）式得， 所以，。 ② 根据椭圆的焦点弦定理 因为，
代入（2）式得，，解此方程，容易求得c=2，所以，a=3，b2=9-4=5 。 所以，所求的椭圆方程为。
点评：本题的解答过程，步骤少，计算简单容易。
笔者在部分数学成绩拔尖的学生中调研实验，用方法二解答本题所用的时间比用方法一解答快3倍。用解法②再举一例：
例2 如图5，椭圆，直线L的倾斜角为60°，直线L过C的右焦点F2，且与C相交于A，B两点，若，求的取值范围。
解： 如 图 5， 设，，根据椭圆定义，在中，根据余弦定理。 （2a-r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos120°
所以，。 同理，在中，
（2a-r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos60° 所以，， 所以，。
又因为0＜e＜1，所以，即的范围是。
另外，若交换点A、B的位置，同理可求得的范围是（1，3）。
点评：本题如果用常规方法解答，计算量还是比较大，请读者不访试一试。 回顾近几年的高考题，每年都有几个省市考椭圆双曲线焦点弦问题，而且题型变化不大，近三年的高考真题有：2010年全国卷文理科第12题，2010年辽宁文科卷第20题， 2011年四川文科第17题，2011年福建文科第18题，理科第19题，2012年江苏文科第19题，理科20题，2012年福建文科第19题。2013年有关焦点弦问题将会考什么样的题目，哪些省市会考到类似的题，我们拭目以待。 ［1］钱珮玲.普通高中课程标准实验教科书人教版（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2010：32-55.
［2］张建跃.普通高中课程标准实验教科书人教版［M］北京：人民教育出版社，2012：38-63.
［3］王海平.2006—2010年高考真题汇编［M］.拉萨：西藏人民出版社，2010.
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