2019精选教育第一章 §3(一).doc

1.若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A.6＋23 C.6＋43

B.7＋23 D.7＋43

解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.

ab>0，a>0，

由题意得ab≥0，所以

b>0.

3a＋4b>0，

又log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 43

所以3a＋4b＝ab，故a＋b＝1.

3a4b43

所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝7＋b＋a≥7＋2

当且仅当答案 D

2.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 C.160元

B.120元 D.240元

3a4b

＝时取等号，故选D. ba

3a4bb·a＝7＋43，

解析 设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.

由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一4

条边长是x m，则另一条边长是x m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋82x＋10×≥80＋20x

88

2x·x＝160，当且仅当2x＝x，即x＝2时取得等号.

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答案 C

1

3.函数y＝log2x＋x－1＋5 (x>1)的最小值为( )

A.－3 C.4

解析 x>1，x－1>0，

11x＋＋5x－1＋＋6 y＝log2＝log2

x－1x－1≥log2(2＋6)＝log28＝3. 答案 B

4.若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 3，则2a＋b＋c的最小值为( ) A. 3－1 C.2 3＋2

解析 a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 3

⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2 3. 而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2 ＝2

4－2 3＝2 3－2.

（a＋b）（a＋c）

B. 3＋1 D.2 3－2 B.3 D.－4

当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立. 答案 D

5.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是( ) A.a≥0 C.a≥2

B.a≥1 D.a≥3

解析 x2＋2x＋a≥－y2－2y，对任意实数x、y都成立，

则a≥－y2－2y－x2－2x＝2－(x＋1)2－(y＋1)2恒成立，而2－(x＋1)2－(y＋1)2≤2，∴a≥2.

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答案 C

6.在下列函数中，最小值是2的是( ) x5

A.y＝5＋x(x∈R且x≠0) 1

B.y＝lg x＋lg x(1D.y＝sin x＋sin x02

x5

解析 A中的函数式，5与x都不一定是正数，故可排除A；B中的函数式，lg 11x与lg x都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x＝lg x，1

即x＝10与10，3－x＝3x>0，∴运用基本不等π1

式取等号的条件是3＝3x，而x＝0成立，故选C.D中，∵0x

11

1)，而sin x>1，sin x≠sin x. 答案 C

7.若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则25A.15 5C.5

2ab

的最大值为( )

|a|＋2|b|2B.4 2D.2 解析 由题意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2. 即a2＋4b2＝1.

11

∵a2＋4b2≥24a2b2，得|ab|≤4且|ab|≥4， ∴＝ |a|＋2|b|2ab

＝

a2＋4|ab|＋4b2

4a2b24a2b21＋4|ab|

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＝

14＝ a2b2＋|ab|

4412|ab|＋2－4

≤

2

＝4. 36－4

4

答案 B 二、填空题

8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________吨.

解析 每年购买次数为

400次. x

400

所以总费用＝x·4＋4x≥2 6 400＝160. 1 600

当且仅当x＝4x，即x＝20时等号成立. 答案 20

11

9.若正数a，b满足a＋2b＝3，且使不等式2a＋b－m＞0恒成立，则实数m的取值范围是________.

1111解析 不等式2a＋b－m＞0恒成立，即32a＋b＞3m恒成立.又正数a，b满足

9111ab

a＋2b＝3，(a＋2b)2a＋b＝2＋b＋a＋2≥2，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，

3

－∞，所以实数m的取值范围是. 23

答案 －∞，2

三、解答题

1110.已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)a＋b≥4.

证明 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab>0， 当且仅当a＝b时，取等号.① 11

a＋b≥2

1

ab>0，

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11

当且仅当a＝b，即a＝b时取等号.② 11①×②，得(a＋b)a＋b≥2ab·2



1ab＝4，当且仅当a＝b时，取等号.

11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米. (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积； (3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.

解 设AN的长为x米(x>2)，矩形AMPN的面积为y. ∵

|DN||DC|3x

＝，∴|AM|＝， |AN||AM|x－2

3x2∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝(x>2)

x－23x2

(1)由S矩形AMPN>32得>32，

x－2∵x>2，∴3x2－32x＋>0， 8

即(3x－8)(x－8)>0，∴28， 8

即AN的长的取值范围是2，3∪(8，＋∞).



3（x－2）2＋12（x－2）＋123x212

(2)令y＝＝＝3(x－2)＋＋

x－2x－2x－212≥2

123（x－2）·＋12＝24，

x－2

12， x－2

当且仅当3(x－2)＝

3x2

即x＝4时，y＝取得最小值，

x－2即S矩形AMPN取得最小值24平方米. 12

(3)令g(x)＝3x＋x(x≥4)，设x1>x2≥4， 12（x2－x1）

则g(x1)－g(x2)＝3(x1－x2)＋

x1x2

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＝

3（x1－x2）（x1x2－4）

，

x1x2

∵x1>x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16， ∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在[4，＋∞)上递增. ∴y＝3(x－2)＋

12

＋12在[6，＋∞)上递增. x－2

∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.

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