概率论习题

课程：概率论与数理统计（B卷） 考试形式：闭卷 教师姓名：张 辉 系、部：基础课部

一、填空题（2分×10=20分）

1.若事件A与B满足P(AB)P(AB)，已知P(A)0.2, 则P(B)________。 2.若A与B相互，已知P(A)0.2,P(AB)0.8,则P(B)________。

3.若事件A在每次试验中发生的概率为p,现进行n次重复试验，则A均不发生的概率为

_____________。

4.设离散随机变量X的概率分

则a=______。

X 1 3a 2 a 3 a+0.5 布为：

p(xi) 5.若X~P(),已知P(X1)P(X2),则_____。 6.若X~B(100,0.1),则D(X)________。

x,0x1X7.若连续随机变量的概率密度为：f(x), 则E(X)______。

0,其它8.已知随机变量X与Y，且D(X)1,D(Y)4,则D(XY)__________。 9.若随机变量X的数学期望E(X)1,方差D(X)4，则由切比雪夫不等式知。 P(X18)_______10. 设t～t(n)，P(|t|)，0，01，则P(t)__________。 二、选择题（2分×5=10分）

1、事件A与B满足下列关系中的哪一个，则称它们是对立的。____ （A）AB （B）AB，AB

（C）AB （D）以上都不是

2、若A与B，P(A)0.2,P(B)0.5,则P(BA)______。 （A） 0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 3、若随机变量X与Y同分布，P(X1)P(Y1)1， 2P(X1)P(Y1)1，则下列等式正确的是_____。 2- 1 -

19 （B）P(XY) 2165（C）P(XY) （D） 以上都不对

8（A）P(XY)4、设随机变量X～N(,（A）N(,2)，YaXb,则Y～_________。

2) （B）N(ab,a22)

2（C）N(a,a) （D）N(,a222b)

5、设t～t(n)，则t～__________。

（A）2(n) （B）t(n2) （C）F(1,n) （D）2(n1)

三、计算题（8分×7=56分）

1、 设袋中装有2个白球和3个红球，现从中随机的任取两球，求这两个球均为白球的概率。

2.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

3. 设连续随机变量X的概率密度为：f(x)求：1）A的值； 2）P(X

4. 已知离散随机变量X的概率分布为

求：1）YX的概率分布；

2Ax,0x1，

其它0,1)。 2X －1 0.2 0 0.25 1 0.3 2 0.25 p(xi) 2）E(X)和D(X)。

5. 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

f(x,y)k(xy),0x2,0y2，

其他0,求： 1）k的值； 2）E(Y)。

6. 已知二维离散随机变量(X,Y)的联合概率分布为

- 2 -

Y X 0 1 －1 0.25 0 0 0 0.5 1 0.25 0 求：1) X与Y的边缘分布； 2）X与Y的相关矩Cov(X,Y)

(1)x2,0x17. 已知总体X的概率密度为：f(x)，其中1是未知参数。设样本

0,其他观测值为x1,x2,,xn，试求的最大似然估计值。

四、应用题（7分×1=7分）

某种食品用机器装袋，每袋的净重是一个随机变量，其数学期望值为500克，标准差为50克。一盒内装20袋，求一盒该食品净重大于10500克的概率。（(5)0.9875) 五、证明题（7分×1=7分）

已知二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

e(xy),x0,y0 f(x,y) ， 证明：X与Y。

0,其他

郑航2005至2006学年第二学期试题

一． 填空题（毎题2分，共20分）

1．设A , B，且P(A)=0.5, P(B)=0.3, 则P(A－B)= ____。

2． 设在一次实验中事件A发生的概率为P，现进行n次实验，则A至多发生一次的概率为＿＿。

3．设离散型随机变量ε的分布列为：

2 3 ε 1 则

P a 7a2 a2+a a=____。

4. 设ε～N（,2），则P(ε)=____. 5. 设ε～U[1,3],则P(02)=____. 6. 已知:Eε=-1,Dε=2,则E(22-1)= _____.

7. 已知:Dε=1，D=4, D＝0.6，则D(ε－2)=______.

8. 设离散型随机变量的期望为Eε，方差Dε=2,则P(|ε－Eε

- 3 -

|3)_______. 9. 已知ε

11，ε

2，…ε

n,是来自总体ε～N(0,1)的样本，则

i1n2i～_______.

10. 设ˆ是参数的无偏估计量，则 Eˆ=________. 二．

选择题（毎题3分，共15分）。

A. 0.7 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.4

2. 设ε,是任意的两个连续型随机变量，它们的分布函数分别为F1(x)和F2(x) ，密度函数

分别为f1(x)和f2(x)，则下列正确的是：______. A．F1(x) +F2(x) 必是某随机变量的分布函数； B．F1(x)－F2(x)必是某随机变量的分布函数； C．f1(x)＋f2(x)必是某随机变量的密度函数；

1． 已知:P(A) = 0.3 , P(B) = 0.5 , P(A|B) = 0.2,则P(AUB)=_____.

D．

12f1(x)＋f2(x)必是某随机变量的密度函数。 333． 若离散型随机变量ε与的方差均存在，且Dε≠0，D≠0, E(ε)=(Eε)(E),

则下列正确的是：____。

A．ε与； B. ε与不相关；

C. D(ε)=(Dε)(D); D. D(ε－)=Dε－D 。 4． 设离散型随机变量与，且概率分布如下： 1  －1 1 ε －1

1111P P 2222

则下列各式正确的是: _____。

A．P(ε=)=1; B. P(ε=)=

111; C. P(ε＋=0) ＝ ; D. P (ε=1) = 。 24425．设总体ε～N（,）,22未知，现从总体ε中抽取容量为n的样本，x, s

2,s*分别为

样本均值，样本方差，修正样本方差，则的置信度为1－的置信区间为：_____。

- 4 -

A.（x－U2sn,x＋U2sn）; B. (x－U2n,x＋U2n);

C. (x－

s*nt(n－1),x＋

2s*nt(n－1)) ; D. (x－

2s*nt(n),x＋

2s*nt(n))

2三．计算题（毎题8分，共56分）。

1．把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数各写在一张纸片上，任取三张并自左向右排列，问所得的是三位偶数的概率是多少？

2． 现有步8支，其中3支未经试射校正，试射校正过的步射中概率为0.8，未经校正过的

步射中的概率为0.3，今任取一支步射击，结果射中，求它为试射校正过的步的概率。

3． 设连续型随机变量的概率密度为：(x)＝Ae

|x| －∞< x <＋∞ 。

求:(1). 常数A; (2). P( 0<<1 ); (3). 分布函数F(x)。 4． 已知离散型随机变量的分布列为：  0 1 2 －2 －1 P 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15

求：（1）.E和D； (2) . 2的分布列。

5．已知二维随机变量（, ）的联合分布律为：   0

1

0 0.1 0.3 1 0.3 0.3 求：（1）. ε与的边缘分布； （2）. ε与的相关矩K 。

6．已知二维随机变量（, ）的概率密度函数为：

(x,y)＝ ｛

6e—（2x＋3y），x0,y00,else - 5 -

求：（1）(x)与(y)； （2）.判断与的性。

7．设总体

的概率密度为：1，ε

(x)＝

｛

（—1）x，0x10，else

其中，>－1 是未知参数，ε

12，…，ε

n是来自总体的一个容量为n的

样本，试求的极大似然估计量。

四． 应用题（5分）。

有100道单项选择题，毎题有4个选项，规定选择正确得1分，选择错误不得分，假定如果不知道正确答案就随机从4个选项中选择一个，并且没有不选的情况，试求超过35分的概率。 五． 证明题（4分）。 已知：～t ( n )。 证明：

～F(1,n)。

2郑州航空工业管理学院 2005— 2006学年第 二 学期

课程考试试卷（□A/□B）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1.设A和B，P(A)0.5，P(B)0.6，，则P(AB)_______。

2.设在一次试验中事件A发生的概率为p。现进行n次重复试验，则A恰好发生一次的概率为_______________。

3.设离散随机变量X的概率分布表为： 1 2 X

p(xi) 3a1 a2

则a__________。

3 3a2a 4.设X～U[2,6]，当2a6b时，则P(aXb)______。 5.若E(X)1，D(X)1，则E(2X3)________。

- 6 -

26. .若X~B(100,0.2),则D(X)________。

7.设X～N(1,4)，(0.5)0.6915，(1.5)0.9332，则P(|X|2)_______。

28. 设离散随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)0，则

3P(XE(X)2)____。_ ____9. 设DX4,DY9,RX,Y0.5,则D2X3Y__________。

1^10.设是参数的无偏估计量，E()________。

2^

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

1. 已知PA0.3，PB0.5，PA|B0.2，则PAUB______。 （A）0.7 （B）0.5 （C）0.6 （D）0.4

C(k0,1,2,3,)，则C_______。 k211（A）1 （B）2 （C） （D）

243. 设离散随机变量X和Y相互，且概率分布分别如下：

2. 若离散随机变量X的概率函数为P(Xk) X 1 1 Y p(yj) 1 1 p(xi)

1 21 21 21 2则下列说法正确的__________。

1 （B）P(XY)1 211（C） P(XY0) （D）P(XY1)

44（A） P(XY)4. 若X和Y满足D(X2Y)D(X2Y)，则有_________。 （A）X和Y （B）X和Y不相关 （C）D(X)D(Y)0 （D）E(X)E(Y)0

5. 若样本（X1,X2,,Xn）取自总体X，EX，DX，则______。

2 （A） Xi1in不是的无偏估计 （B）X是的无偏估计

（C） X2i21in是的无偏估计 （D）X是的无偏估计

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三、计算题（本题总计56分，每小题8分）

1.设袋中装有2个白球和3个黑球，现从中随机的任取两球，问：①所取的两球都是白球的概率。②两球中一个是白球另一个是黑球的概率。 2.甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中的概率都是

1，如果只有一个人击中，则飞机被击落的3概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。

0 ,x<0 23. 设连续随机变量X的分布函数为FxAx,0x1,

1 , x1.求 ①常数A； ②P(X1)； ③X的概率密度f(x)。 20 0.4 1 0.4

4. 已知离散随机变量X的概率分布为： X 1 0.2 p(xi) 2 求 ①Y2X1的概率分布； ②E(Y)和D(Y)。

5.设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

f(x,y)0yx，0x1kxy ， ，

0 ,其他求 ①k的值； ②E(X)。

6. 已知二维离散随机变量(X,Y)的联合概率分布为

Y X 0 1 －1 0 0 1 0 1 30 1 31 3求 ① X和Y的边缘概率分布； ② Zmax(X,Y)的概率分布。

ex,x>07. 已知总体X服从指数分布e,概率密度为：f(x;)，其中0是未知

0,x0参数。设样本观测值为x1,x2,,xn，试求参数的最大似然估计值。

- 8 -

四、应用题（本题总计7分，每小题7分）

某工厂有450台同类型的机器，由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时

间的

2 ，各台机器是否工作是的，求任一时刻有280台至330台机器正在工作的概率。3（(2)0.9772,(3)0.99865）

五、证明题（本题总计7分，每小题7分）

已知二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为

3e(3xy),x0，y0 f(x,y) ，

其他0,证明：X与Y。

郑州航空工业管理学院2008—2009学年第 一 学期

课程考试试卷（A）

一、填空题（本题总计 20分，每小题 2 分）

1． 设三次试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于则事件A在一次试验中出现的概率为 。

2. 设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且P(X=2)=P(X=3)，那么

l= ．

19，273. 设随机变量X服从指数分布，且DX0.25，则X的概率密度为 。 4. 已知随机变量XU1,1，则E3X1 ．

5. 若随机变量X的数学期望E(X)1,方差D(X)4，则由切比雪夫不等 式知P(X18)_______

6. 设总体X服从正态分布N(, 1)， X1,X2,,Xn为来自该总体的一个

- 9 -

样本，则(XiX)2服从 分布．

i1n7．设X～N(,2)，且E(X)1，E(X2)4，Xi(i1,2,,n)为来自总体X的样本，则X服从的分布为___ __。

8. 已知随机变量ttn，则随机变量t2 服从 。

9．总体X服从参数为l的泊松分布，l未知，X1,X2,,Xn为来自该总体的一个 样本，则l的矩估计量为___ __ 。

10.设总体X～N(,2)，抽取容量为30的样本X1,X2,,X30，则

130P{0.59(XiX)21.422}=___ __ 。(P{2(29)17.7}0.95，

30i12P{2(29)42.6}0.05)

二、选择题（本题总计 10分，每小题2 分）

1. 设事件A与B且不相容，则min[P(A),P(B)]( ).

（A）1. (B) 0 (C) 0.5 . (D) 不能确定。 2. 设随机变量X,Y同分布，P(X1)P(X1)1(A)P(XY);(B)2P(XY)1;(C)1,下列正确的是（ ）。 21P(XY1).

41P(XY0);(D)43. 设X与Y为随机变量，则下列等式中正确的是（ ）。

(A)D(XY)D(X)D(Y)(C)E(XY)E(X)E(Y) （B）D(XY)D(X)D(Y)

(D)E(XY)E(X)E(Y)

4．设两个互相的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则下列等式正确的是__ _。

- 10 -

（A）P(XY0)（C）P(XY1)11 （B）P(XY0) 2211 （D）P(XY1) 225. 设X1,X2,,Xn(n3)为来自总体X的简单随机样本，则下列估计量中不是总体期．．望的无偏估计量的有 ．

（A）X （B）X1X2Xn （C）0.1(6X14X2) （D）X1X2X3

三、计算题（本题总计 63 分，每小题 9分）

1. 对二随机事件A,B，已知P(A)P(B)0.4，P(AB)0.5。求：(1) P(AB)；(2)

P(AB)；(3) P(AB)。

2．设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，求取到的恰好是次品的概率. 3．设随机变量X的概率密度函数为：

ax2bxc,0x1 f(x)

0其他（X）0.5，D（X）0.15，求系数a，b，c。 已知：E4．已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为

6xy(2xy)，0x1,0y1 f(x,y)

0，其他（1） 求边缘密度函数fX(x),fY(y)； （2） X与Y是否相互？ 5． 设随机变量X的概率密度函数为：

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ex fX(x)0求随机变量YeX的概率密度函数fY(y)。

x0x0，

6． 某工厂有400台同类型机器，各机器发生故障概率为0.02, 设各机器工作。利

用中心极限定理，求该厂机器故障的台数不小于2的概率。

68(7.842.82,=0.9835,=0.9978)

2.82.817. 设总体X的概率密度函数为fxe, x，其中0是

2x未知参数，X1,X2,,Xn是总体X的容量为n的样本，试求参数的最大似然估计.

四、证明题（本题总计7 分）

UaXbY，VaXbY，设X，且X～N(,2)，Y相互，Y～N(,2)，

证明：cov(U,V)a2b22。

郑州航空工业管理学院2010—2011学年第二学期

课程考试(A)试卷

一、填空题（本题总计20分，每题2分）。

1．袋中有标号为1,2,3,4,5的五个同样的球，从中任取三个球，则三个球中最大标号为4 的概

率 。

2．已知P(A)0.7,P(AB)0.5,则P(BA)_________。 3．已知随机变量X的概率分布，为F(x)为的分布函数，则F(1.5) 。

X P 1 1 2 X

0.2 0.4 0.4 4. 设随机变量X的概率密度为fX(x)A,x，则常数A 。

(1x2)- 12 -

5. 设随机变量XN(2,2),且P(2X4)0.3,则P(X0) 。

6. 随机变量X,Y相互同分布，且XU[0,3]，则P(max{X,Y}1) 。 7. 随机变量XB(4,0.5),则P(XD(X)) 。 8．设D(X)4，D(Y)1,XY0.5,则D(X2Y) 。 9. 随机变量Xe(0.5)，则由切比雪夫不等式有P(X23) 。 10.设随机变量XN(0,1),YN(1,2),且相互，则XY1 。

二、判断题（对的打√，错的划×）（本题总计15分，每题3分）。

1. 设P(AB)0,则事件A,B互不相容。

1ex,x02. 函数F(x)可以作为某个随机变量的分布函数。

x00,3. (X,Y)服从二维正态分布，且X,Y不相关，则条件概率密度fXY(xy)fX(x). 4. 若E(XY)E(X)E(Y)，则随机变量X,Y相互。

Y相互且同分布，F(x)为X的分布函数，则Zmax{X,Y}的分布函数为5. 设随机变量X，F2(x).

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）。

1．有朋友从远方来，他坐火车、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，且坐以上交通工具迟到的概率分别为0.2, 0.3, 0.1，试求：(1)他迟到的概率；（2）已知他迟到了，求他坐汽车来的概率。

2. 已知随机变量X的概率分布，求（1）X的分布函数F(x)； X 1 （2）YX1的概率分布。

21 2 P 0.3 0.4 0.3 1xAe,x03. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x),试求： 2xx0Be, （1）A,B； (2) X的概率密度f(x)； （3）P(1X1).

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xex,x04.设随机变量X的概率密度为fX(x)，求（1）E(X),D(X); (2) 随机变量函数

x00,Y1X的概率密度fY(y).

5. 二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)6x,0x1,xy1，试求

0，其它（1）P(XY1)； (2) 判断X,Y的性。

6. 箱内有5个球，其中红、白、黑球个数分别为1, 1, 3个，从中任取2个球，X,Y分别表示其中的红球、白球数，试求（1）(X,Y)的概率分布；（2）Cov(X,Y).

四、应用题（本题总计5分）。

某保险公司有10000人投保，每人每年付120元保险费，已知一年内投保人生病的概率为0.1，

若投保人生病，则公司付给投保人1000元，求保险公司一年的利润不少于25万元的概率。

（1.67）0.9525, （0.67）0.7486） （

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