《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第二章知识题目解析

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3

只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X3,4,5P(X3)P(X4)10.1C353

0.3C35C24P(X5)30.6C5故所求分布律为

X P

3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X},P{1X},P{1X},P{1X2}.

222【解】

.

X0,1,2.3C1322P(X0)3.C15352C112 2C13P(X1)3.C1535C11P(X2)13.3C1535故X的分布律为

X P

0 1 2 22 3512 351 35（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

x00,22,0x135F(x)

34,1x2351,x2(3)

1122P(X)F(),2235333434P(1X)F()F(1)0223535

3312P(1X)P(X1)P(1X)2235341P(1X2)F(2)F(1)P(X2)10.3535 .

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X0)(0.2)30.0082P(X1)C130.8(0.2)0.096P(X2)C(0.8)0.20.384P(X3)(0.8)30.512故X的分布律为 X 0 0.008 分布函数

1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 P x00,0.008,0x1F(x)0.104,1x2

0.488,2x3x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.896

4.（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=akk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，

试确定常数a.

【解】（1） 由分布律的性质知

.

1P(Xk)ak0k0kk!ae

故 ae

(2) 由分布律的性质知

1P(Xk)k1k1NNaa N即 a1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1) P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)

P(X3,Y3)

212(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

222233 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3(0.6)(0.7)

0.32076

(2) P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0) P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)

23223C130.6(0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3) 22(0.6)3(0.3)3C3(0.6)20.4C130.7(0.3) 2322(0.6)3C130.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设

.

各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，

则有

P(XN)0.01

即 利用泊松近似

kN1200k200kCk0.01 200(0.02)(0.98)np2000.024.

P(XN)e44k0.01 k!kN1查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

P(X2)1P(X0)P(X1)

1e0.10.1e0.1

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

4223C15p(1p)C5p(1p)

故 p1 34所以 P(X4)C5()134210. 3243 .

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP(X3)C5(0.3)k(0.7)5k0.16308

k35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP(Y3)C7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松

分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X0)ekk32 (2) P(X1)1P(X0)1e2k52

11.设P{X=k}=C2p(1p), k=0,1,2

m4mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1p)分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X1)5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X1). 992而 P(X1)P(X0)(1p)

4, 91即 p.

3故得 (1p)2从而 P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书

.

中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

np20000.0012

e2250.0018 得 P(X5)5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的44次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X1,2,,k,

13P(Xk)()k1

44P(X2)P(X4)P(X2k)

1313313()()2k14444441314 41(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X30000)P(X15)1P(X14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

.

e55kP(X15)10.000069

k!k014(2) P(保险公司获利不少于10000)

P(300002000X10000)P(X10)

e55k0.986305 k!k010即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）P(300002000X20000)P(X5)

e55k0.615961 k!k05即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae|x|, ∞求：（1）A值；（2）P{0f(x)dx1得

1Aedx2Aexdx2A

0|x|1. 211x11(2) p(0X1)edx(1e)

202x11(3) 当x<0时，F(x)exdxex

22x101x1e|x|dxexdxexdx 当x≥0时，F(x)22021x 1e

2故 A1xe,2故 F(x)11ex2x0

x0 .

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100,x100,f(x)=x2x100.0,

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

1001dx. 100x2328 p1[P(X150)]3()332741122(2) p2C3()

339（1） P(X150)150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)  x100f(t)dt f(t)dtx100f(t)dt

100100 dt1100t2xx100,x1001故 F(x) xx00,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

1,0xa f(x)a其他0,故当x<0时F（x）=0

.

当0≤x≤a时F(x)xf(t)dtf(t)dt0xx01xdt aa当x>a时，F（x）=1 即分布函数

0,xF(x),a1,x00xa xa18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

1,2x5 f(x)3其他0,P(X3)故所求概率为

5312dx 3323202221 pC3()C3()33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗

口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x15e,x0f(x)5

0,x01515该顾客未等到服务而离开的概率为

x15P(X10)edxe2

105 .

Y~b(5,e2),即其分布律为

kP(Yk)C5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e)0.516725

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

x406040P(X60)P(2)0.97727

1010若走第二条路，X~N（50，42），则

X506050P(X60)P(2.5)0.9938++

44故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则

X404540P(X45)P(0.5)0.6915

1010若X~N（50，42），则

X504550P(X45)P(1.25)

44 1(1.25)0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22）， （1） 求P{24（2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.

.

【解】（1） P(2X5)P23X353

22211(1)(1)1 22

0.841310.69150.532843X3103P(4X10)P

222 770.9996 22P(|X|2)P(X2)P(X2)

X323X323PP22221515 11

22220.691510.99380.6977P(X3)P((2) c=3

X33-3)1(0)0.5 2222.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.12 0.060.06

1(2)(2)2[1(2)]

0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤

200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120X200)P120160X160200160 404040210.8   .

故

24.设随机变量X分布函数为

4031.25 1.29ABext,x0,F（x）=(0),

x0.0,（1） 求常数A，B； （2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

limF(x)1A1x【解】（1）由得

limF(x)limF(x)B1x0x0（2） P(X2)F(2)1e2

3 P(X3)1F(3)1(1e)e3

ex,x0(3) f(x)F(x)

x00,25.设随机变量X的概率密度为

x,f（x）=2x,0,0x1,1x2, 其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)xxf(t)dt0f(t)dtf(t)dt

0xx2 tdt

02当1≤x<2时F(x)xf(t)dt

.



01f(t)dtf(t)dtf(t)dt01x11xtdt(2t)dt01x232x222x22x12

当x≥2时F(x)xf(t)dt1

0,2x,2故 F(x)2x2x1,21,26.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae

|x|,λ>0;

x00x1

1x2x2bx,0x1,11x2, (2) f(x)=2,x0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由

f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx02a

故 a2

xe,x02即密度函数为 f(x)

exx02当x≤0时F(x)当x>0时F(x)xxf(x)dx1exdxex 22x0f(x)dx2exdxx20exdx

1故其分布函数

1xe 2 .

1x1e,x02F(x)

1ex,x02(2) 由1f(x)dxbxdx01211b1dx x222得 b=1 即X的密度函数为

0x1x,1f(x)2,1x2

x其他0,当x≤0时F（x）=0 当00xx2xdx

2x当1≤x<2时F(x) f(x)dx0dxxdx001x11dx 2x31 2x当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

0,2x,F(x)231,2x1,27.求标准正态分布的上分位点， （1）=0.01，求z; （2）=0.003，求z，z/2.

x00x1

1x2x2 .

【解】（1） P(Xz)0.01

即 1(z)0.01 即 (z)0.09 故 z2.33 （2） 由P(Xz)0.003得

1(z)0.003

即 (z)0.997 查表得 z2.75 由P(Xz/2)0.0015得

1(z/2)0.0015

即 (z/2)0.9985 查表得 z/22.96 28.设随机变量X的分布律为

X Pk 2 1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y0)P(X0)1511761530

P(Y1)P(X1)P(X1)1511P(Y9)P(X3)30P(Y4)P(X2)故Y的分布律为

.

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k), k=1,2,…,令 21,当X取偶数时 Y1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

111()2()4()2k222

111()/(1)443

2P(Y1)1P(Y1)

330.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

x当y>0时，FY(y)P(Yy)P(ey)P(Xlny)

lnyfX(x)dx

dFY(y)111ln2y/2fx(lny)e,y0 故 fY(y)dyyy2π(2)P(Y2X11)1

当y≤1时FY(y)P(Yy)0

2当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X1y)

2 .

PX 2y1y1PX22y1 2(y1)/2(y1)/2fX(x)dx

y1y1fX2 2d1FY(y)故 fY(y)dy4 (3) P(Y0)1

2fXy11221(y1)/4e,y1

y12π当y≤0时FY(y)P(Yy)0

当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy) 故fY(y)yyfX(x)dx

dFY(y)fX(y)fX(y) dy2y2/2e,y0 2π31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=

2lnX的分布函数及密度函数.

【解】（1） P(0X1)1

故 P(1Yee)1

X当y1时FY(y)P(Yy)0

X当1lny0dxlny

X当y≥e时FY(y)P(ey)1

即分布函数

.

y10,FY(y)lny,1ye

1,ye故Y的密度函数为

11ye fY(y)y,0,其他（2） 由P（0P(Z0)1

当z≤0时，FZ(z)P(Zz)0

当z>0时，FZ(z)P(Zz)P(2lnXz)

P(lnX)P(Xe 即分布函数

z2z/2)

1z/2edx1ez/2

z00, FZ(z)-z/21-e,z0故Z的密度函数为

1z/2e,z0fZ(z)2

z00,32.设随机变量X的密度函数为

2x,0xπ,f(x)=π2

其他.0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0Y1)1

当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

.

当0P(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)

π2x2xdx0π2πarcsinyπ2dx

1122 2（arcsiny）1-2（π-arcsiny）ππ2 arcsiny

π arcsiny当y≥1时，FY(y)1 故Y的密度函数为

12,0y1π2fY(y) 1y0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：

1,F(x)1x2(2),试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)1知②填1。

xx(1)x,

(3).F(x)F(x0)1知x00，故①为0。 由右连续性lim+xx0从而③亦为0。即

1,x02 F(x)1xx01,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

次抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互独立。再设C={每6P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)

.

111111 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

36 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

0nP(X1)1P(X0)1C0n(0.1)(0.9)0.9

即 (0.9)0.1

n得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

0,1F（x）=x,21,则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

x0,10x,

21x.2（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)0

xxlimF(x)1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]

.

等于（ ）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [π/2,0]; (D) [0,

3π]. 2π/2π【解】在[0,]上sinx≥0，且sinxdx1.故f(x)是密度函数。

02在[0,π]上在[π0sinxdx21.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当πxπ时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

22故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,),P(1X3)P(213X3)

(利用微积分中求极值的方法，有

1)()令g()

g()(3311)()() 22

321219/221e22211/22e221/28/2e[13e]02令

得0224,则 0 ln3ln3又 g(0)0 故02为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物

.

品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

em,m0,1,2,【解】P(Xm)m!

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

kmkP(Yk|Xm)Ck,k0,1,mp(1p),m

由全概率公式有

P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)

mkemkkCmp(1p)mkm!mke emkk!(mk)!p(p)kk!mk(1p)mk

[(1p)]mk(mk)!mk(p)k(1p)eek!(p)kpe,k0,1,2,k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1

匀分布.

【证】X的密度函数为

e

2X在区间（0，1）上服从均

2e2x,x0fX(x)

0,x0由于P（X>0）=1，故0<1当y≤0时，FY（y）=0

e

2X<1，即

P（0.

当y≥1时，FY（y）=1

2x当01P(Xln(1y))2 即Y的密度函数为

1ln(1y)202e2xdxy1,0y1 fY(y)0,其他即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为

13,0x1,2f(x)=,3x6,

9其他.0,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=

12知P（X33若k<0,P(X1k1dx0333 1 当k=1时P（X311k1若1≤k≤3时P（X031311k2211若30339933若0≤k≤1,P(Xk若k>6,则P（X故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为

2. 3 .

x1,0,0.4,1x1,F(x)=

0.8,1x3,x3.1,求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

X P

1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，

求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=故p=

19知P（X=0）=（127p）3=

8 271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

1,1x6 f(x)50,其他P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{24 5P{X<0}= .

【解】0.3P(2X4)P(22X242)

.

22()(0)()0.5

故 ()0.8

2因此 P(X0)P(X22022)()

 1()0.2

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经

调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24 P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

P(Xn)(0.94)nn2P(Xn2)C2(0.06)2 n(0.94)P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn) 1n(0.94)n10.06(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概

.

率.

【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

24X7296720.023P(X96)P1() 故 (查表知 从而X~N（72，122） 故 P(60X84)P24)0.977

242,即σ=12

6072X728472

121212

(1)(1)2(1)1

0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的

概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。

由X~N（220，252）知

P(A1)P(X200)

X220200220P

2525(0.8)1(0.8)0.212P(A2)P(200X240)

200220X220240220P

252525(0.8)(0.8)0.576 .

P(A3)P(X240)10.2120.5760.212

由全概率公式有

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642

i13由贝叶斯公式有

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009

P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】fX(x)1,1x2

0,其他因为P（12X当e2P(1X 1lny) 21lny1 21lny21dx当y≥e4时，FY(y)P(Yy)1

0,ye21即 FY(y)lny1,e2ye4

241,ye124,eye故 fY(y)2y

0,其他50.设随机变量X的密度函数为

ex,x0,fX(x)=

0,x0. .

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考) 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)P(Yy)0

X当y>1时，FY(y)P(Yy)P(ey)P(Xlny)

lny0exdx11 y11,y即 FY(y)0,y>1y1

12,故 fY(y)y0,51.设随机变量X的密度函数为

y>1y1

fX(x)=

求Y=1

31,

π(1x2)x的密度函数fY(y).

【解】FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(X(1y)3)

11dxarctgx(1y)3π(1x2)π(1y)31π3arctg(1y)π2

3(1y)2故 fY(y)

π1(1y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q（.1993

研考）

.

【解】（1） 当t<0时，FT(t)P(Tt)0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

FT(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N(t)0)1et

1et,t0即 FT(t)

0,t0即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e168（2） QP(T16|T8)P(T16)/P(T8)8e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=

现的条件下，X在{

1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{

11，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试

求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x<

1时F（x）=0；而x≥1时F（x）=1

由题知P(1X1)1当

115 848x1 21P(X,1X1)P(Xx,X1)P(Xx,X1)P(Xx,1X1)P(Xx,x1) P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)

x15151(x1)288168当x=

1时，F(x)P(Xx)P(X1)1 8故X的分布函数

x10,51F(x)(x1),-1x<1

816x11,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-

.

μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考)

解： 依题意

X11N(0,1)，

Y22N(0,1)，则

P{X11}P{X11Y211}，

P{Y21}P{因为P{X11}P{Y21}，即

212}.

P{X11111}P{Y1212}，

所以有

112，即12.