【教学设计】任意角的三角函数

一、教材分析 （一）教材地位和作用

本节课是关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，本节课自然地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数．紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质.任意角三角函数的定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. （二）教学目标

1、知识与技能

了解任意角三角函数定义产生的背景和应用，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；会求特殊角的三角函数值，能够判断三角函数值的符号. 让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想、数形结合思想,以及类比的学习方法， 培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力. 3、情感态度与价值观 通过教师指导下的学生交流探索活动，使学生经历数学概念发生、发展、应用的过程，让学生感受从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神. （三）教学重点和难点

重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 难点：任意角的三角函数概念的构建过程. 二、教学方法 （一）教法与学法

问题探究式-----教师启发引导、学生合作探究.即采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，同时突出学生的主体地位． （二）教学准备

多媒体、投影仪、三角板、圆规. 三、教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 学生集体朗读： （一） 东升西落照苍穹， 影短影长角不同． 创设情境 引入新课 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣． [师生活动] 诗中描述了周期变化的自然规律：日出日落，寒来暑往.自然界中存在着许多“循环往复、周而复始”的变化规律.而函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，那么用怎样的函数模型来刻画这种变化规律呢？ （二） 问题1：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的定义吗？你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？与点在终边上的位置有关吗？ [师生活动]学生口述后再投影展示、强调. 问题2：能否使锐角三角函数的定义更加简洁？ [师生活动]教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到类比概括 原点的距离为1的点可以使表达式简化.教师进一步给出单位圆的定义. 问题3：若将锐角改为任意角，那么它们还是角的函数 吗？ [师生活动]先让学生思考交流，作出主观判断，再用几何画板动画演示，进而共同得出任意角三角函数的定义: 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1) y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny； (2) x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx； 通过设置日常生活中的周期现象来引入新课，让学生形成周期变化规律的感性认识，培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力． 形成概念 (3) y叫做的正切(tangent),记做tan,即x温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. 用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。 扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念. 引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义． tan y(x0). x （三） 练习.填表（口算）: 角 0  2  3 2 sin cos tan 例1.求5的正弦、余弦和正切值. 3这一练习（口算）从最简单的求三角函数值入手，让学生加深对三角函数定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．这一练习（口算）还为例1和练1：利用定义求不同情况下函数值的问题的解决做好了铺垫. 分析：利用锐角三角函数知识求出角的终边与单位圆交点的坐标，再根据定义求解. 典例精析 小结：利用定义求三角函数值（作角、画圆、求交点、求值）， 关键是求出角的终边与单位圆交点的坐标. 例题与练习都是为了及时巩固对定义的理解，同时在解答过程中充分利用单位圆的作用，体现出数形结合的思想. 巩固概念 练1.已知角的终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值． [师生活动]让学生自己思考并独立完成，并让学生学生点评纠错，将该题的求解思路同化，降低学习难度. 引申：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为那么sinr(rx2y20)，（课下探究） yxy,cos,tan.rrx 根据任意角的三角函数定义，探究： 1. 三角函数在弧度制下的定义域. 2. 三角函数值在各象限的符号. 3. 终边相同的角的同一三角函数值的关系. [师生活动] 先思后说，先练后讲，学生纠错，教师点评. 练2.不求值，确定下列三角函数值的符号： 通过定义的应用，进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想． 由公式一可知，角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，即三角函数值具有“周而复始”的变化规律，所以，我们可以用三角函数来刻画现实世界中的周期变化规律. （四） (1)cos250; (2) sin(合作探究 4); (3) tan(672); (4) tan3. 深化概念 练3.当角满足不等式组限角. 例2.求下列三角函数值: （1）sin780； （2）cos； （3）tan( （五） 小结作业 拓展提高 sin0时，角为第_____象tan09411) 6 1．小结：通过本节课的学习，你对三角函数有什么新认识？ 通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内2．作业： 容和思想方法，从而(1)书面作业：课本20页A组1、2、3题; 实现对三角函数定义的再次深化. (2)探究作业：证明任意角三角函数的“等价定义”： 作业分层，既面在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一向全体学生巩固双点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为基，又为学有余力的yxy学生留出自由发展的22那么sin,cos,tan. 空间，体现了因材施r(rxy0)，rrx(3)上网搜查：三角函数概念的发展历程，体会用单位圆定义教的教学理念. 三角函数的优越性.

四．设计思路

1．突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆探究三角函数的定义域三角函数在各象限的符号和诱导公式一；第四是在练习1的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

2．用函数同化三角函数。在形成任意角的三角函数的定义时，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。

3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。 根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。 （1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。

从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。

（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。

在形成任意角的三角函数的定义后通过三个探究问题应用、强化定义，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应”，在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识——用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。

（3）解题思路求同，强化定义的作用。

例1、练1（即课本例2）两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同。练2、练3（即课本例4、例3）放在探究2后让学生顺势完成，一气呵成，这样既统一了思路、降低了难度，又突出了定义的作用。

（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。

作业中的第2、3项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。