二次函数复习全部讲义

二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，

是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重点

考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。

一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标

例1、对于抛物线y(x5)3，下列说法正确的是（ ） A．开口向下，顶点坐标(5，3) C．开口向下，顶点坐标(5，3) 二、求抛物线的对称轴

例2、二次函数yx2x3的图象的对称轴是直线 。 三、求二次函数的最值

例3、若一次函数y(m1)xm的图像过第一、三、四象限,则函数ymxmx（ ） A.有最大值

2132B．开口向上，顶点坐标(5，3) D．开口向上，顶点坐标(5，3)

2m4 B.有最大值m4 C.有最小值

m4 D.有最小值m4

四、根据图象判断系数的符号

例4、已知函数yaxbxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．a＞0，c＞0 C．a＜0，c＞0

B．a＜0，c＜0 D．a＞0，c＜0

2五、比较函数值的大小 例5、若A（1351，B（,y2），C（,y3）为,y1）4442二次函数yx4x5 的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是( )

A．y1y2y3 B．y2y1y3 C．y3y1y2 D．y1y3y2六、二次函数的平移

例6、把抛物线yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）

A. y(x1)3 B. y(x1)3 C. y(x1)3 D. y(x1)3

例7将抛物线y3x绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）

1

222222 A.y3(x1)1 B. y3(x1)1 C.y3(x1)1 D. y3(x1)1

例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0). (1) 求该二次函数解析式;

(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得

图象与x轴的另一个交点的坐标.

22223239xx代成ya(xh)2k的形式． 4243239（2）写出抛物线yxx的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形

424（1）把二次函数y如yax的抛物线经过怎样的变换得到的？ （3）如果抛物线y23239xx中，x的取值范围是0≤x≤3，请画出图象，并试424着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．

七、求代数式的值

2例9、已知抛物线yxx1与x轴的一个交点为(m，则代数式mm2008的0)，

2值为（ ）A．2006 B．2007 C．2008 D．2009

八、求与坐标轴的交点坐标

例10、抛物线 y=x2+x-4与y轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数ya(x1)2图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是 。

2二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的必考内容之一。同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化。二

2次函数yaxbxc与一元二次方程axbxc0从形式

22上看十分相似，两者之间既有联系又有区别。当抛物线yaxbxc的y的值为0时，就得到一元二次方程axbxc0。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程

2ax2bxc0的根的情况。

1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值.

2.用表格给出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系.

2

b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 有两个不相等的根 有两相等的根 无实数根 2二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点情况 有两个不同的交点 只有惟一的一个交点 无交点 3．弦长公式：如果抛物线yaxbxc(a0)的图象与x轴有两个交点

(xA,0),(xB,0)由一元二次方程求根公式得xAbb，xB， 2a2a故ABxAxBbb2a2a这就是弦长公式，利用a此公式可以解决许多有关抛物线的问题．

例1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象（如图1），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c =0的两个根分别是x1=1.3和x2=____.

例2．根据下列表格中二次函数yaxbxc的自变量x与函数值y的对应值，判断方程axbxc0（a0，a，b的一个解x的范围是（ ） ，c为常数）

22图1 x 6.17 6.18 6.19 6.20 yax2bxc Ａ．6x6.17

Ｃ．6.18x6.19

20.03

0.01 Ｂ．6.17x6.18 Ｄ．6.19x6.20

0.02 0.04 例3．已知函数yaxbxc的图象如图所示，那么关于x的方程axbxc20的根的情况是（ ）

A．无实数根 C．有两个异号实数根

22 B．有两个相等实数根

D．有两个同号不等实数根

例4.已知抛物线y2xmx2m的图象与x轴有两个交点为(x1,0),(x2,0)，且

x1x25，求m的值。

2例５已知二次函数yx2xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

22x22xm0的解为 ．

3

例６二次函数yaxbxc(a0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：

2x 1 2 y 1 21 420 1 1 27 41 2 3 27 42 1 5 21 43 2 （1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

（2）一元二次方程axbxc0(a0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 ．

13x10，x22 2215③x10，2x2

22①2

15

2213④1x1，x22

22②1x1，2x2例4．(贵阳)二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

y （1）写出方程axbxc0的两个根． （2）写出不等式axbxc0的解集．

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

223 2 1 1 2 3 4 x 1O1 2（4）若方程axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 2 例７ 如图3，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2(x1二次函数的应用

中考命题中，既重点考查二次函数及其图象的有关基础知识，同时以二次函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数作压轴题。因此，在复习中，关注这一热点显得十分重要。

应用二次函数，就是要把实际问题转化为二次函数的问题，它的基本模式是：

实际问题 数学问题

数学化

4 图3

实际问题的解 检验 数学问题的解

同学们难的是，如何把实际问题数学化。我们要细心研究题意，能提炼出相关信息，对相关信息进行分析、加工，看能不能形成抛物线的形式。从而把实际问题转化为数学问题。

例1、（某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（3分） （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3分）

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（6分）

y 利润（万元） 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，

主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或33 最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要

24 设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方

程。

13 例2、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个

月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：

第3月 O 第1月 第2月 （1）求该抛物线对应的二次函数解析式

（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？

（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。

例3、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)

A D F G C H x 所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别

A D 在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFDB E 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形F AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，C B E 且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH． (1)

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理

图1

由；

B (2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

例4为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m

2

的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ C

5

(2)

A 25m D 图1

例5用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2，围出的苗圃是五

2

边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．

例6如图3，抛物线yx2nxn9（n为常数）经过坐 标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．

（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标； （2）已知A点坐标为（2，8），在梯形OABC内有一矩形MNPQ， 点M、N分别在OA、BC上，点Q、P在x轴上．当MN为多少时，矩 形MNPQ的面积最大？最大面积是多少？

例7 已知：如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，A90，

D A 4BCCD10，sinC．

22图2

y A M B N 5（1）求梯形ABCD的面积；

F

（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，

B C

E M N 点E从点B出发向点C运动，点F从点

图4 C出发向点D运动，若两点均以每秒1个

单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置． 例8 如图5，

O Q H 图3

P C x ABCD中，AB4，BC3，∠BAD120，E为BC上一动点（不

与B重合），作EFAB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BEx，△DEF的面积为S． （1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围； （3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？ ．

例军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的

A

D

F

B E

图5

C G

1高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足yx210x．经过 秒时间炮弹到达它的

5最高点，最高点的高度是 米，经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了．

例10如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为 2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知 篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．

图1 例11 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小

孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．

图2

图3

6

例12杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人 梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y=－

y（米）

B

32

x+3x+1的一部分，如图． 5（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳 O C x（米） 点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

例13王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线

18yx2x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离

55球洞的水平距离还有2m．

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．

（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度 不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其 图2 关系式．

例14如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合），且∠ADE=600. 设BD=x,CE=y. （1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

AEBC

D

7