圆的方程经典例题

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程 （1）标准方程 ，圆心222a,b，半径为r；

点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系：

当 ，点在圆外 当 ，点在圆上 当 ，点在圆内 （2）一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点；

当 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 1.若过点P(a,a)可作圆x+y-2ax+a+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是 .

2．圆x＋y－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )

A．(－∞，4) B．(－∞，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)

3. 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关

4. 求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．

5. 求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．

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6.已知直线l:x+y-2=0和圆C:x+y-12x-12y+=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是 .

7、 设足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程．

8.已知点P(2,2),点M是圆O1:x+(y-1)=错误!未找到引用源。上的动点,点N是圆O2:(x-2)+y=错误!未找到引用源。上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.错误!未找到引用源。-1

B.错误!未找到引用源。-2 C.2-错误!未找到引用源。

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D.3-错误!未找到引用源。

类型二：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有 三种情况：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为

dAaBbCAB22，则有 （2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

222(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程 1、已知直线3xy230和圆x2y24，判断此直线与已知圆的位置关系.

2：直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是

3：若直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点，则k的取值范围是 .

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4．圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．

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5. 圆(x3)(y3)9上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？ 6.、若直线yxm与曲线y

7. 已知圆M:x2(y2)21,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点 (1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程； (2)求四边形QAMB的面积的最小值；(3)若AB类型三：圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa2yb2R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线 条；

当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 时，两圆内含； 当d0时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

1、判断圆C1:xy2x6y260与圆C2:xy4x2y40的位置关系， 2：圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有 条。

3．圆x＋y－2x－5＝0与圆x＋y＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．

A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 4：求与圆x2y25外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程.

5.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x+y-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( )

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224x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.

42，求直线MQ的方程. 322224535A. B. C. D.

3453226. 已知圆C:(x2)y4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0).

（Ⅰ）若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程；

（Ⅱ）当a2时，若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程； （Ⅲ）当a1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值.

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类型四：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4与圆O相切的切线． 1. 已知圆O：xy4，求过点P2，22

2. 两圆C1：xyD1xE1yF10与C2：xyD2xE2yF20相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．

223、过圆xy1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直

2222线AB的方程。

224．求过点M(3,1)，且与圆(x1)y4相切的直线l的方程．

5、过坐标原点且与圆xy4x2y

类型五：弦长、弧问题

1、求直线l:3xy60被圆C:xy2x4y0截得的弦AB的长.

2、直线3xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为 22223、求两圆xyxy20和xy5的公共弦长

2250相切的直线的方程为 2224．过点A(11,2)作圆x＋y＋2x－4y－1＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )

A．16条 B．17条C．32条 D．34条

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类型六：圆中的对称问题

1、圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是

223发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆2 自点A3，C：x2y24x4y70相切

（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题

1：圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

22(x3)2(y4)21，P(x,y)为圆O上的动点，求dxy的最大、最小2 (1)已知圆O1：(x2)y1，P(x,y)为圆上任一点．求值．(2)已知圆O2：的最大、最小值．

3．已知圆O：x＋y＝c(04、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2)，点P在圆x2y24上运动，求PAPBPC的最大值和最小值. 类型八：轨迹问题

1．设A为圆(x－1)＋y＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )

A．(x－1)＋y＝4 B．(x－1)＋y＝2 C．y＝2x D．y＝－2x

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2222y2的最大、最小值，求x2yx1222

2、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

3. 如图所示，已知圆O：xy4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹．

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4. 已知圆的方程为xyr，圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点A、B，使PAPB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程． 练习：

1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P0

222的轨迹方程是 .

2、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是 .

3.已知直线ykx1与圆x2y24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形

OAPB，求点P的轨迹方程.

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类型九：圆的综合应用

例25、 已知圆xyx6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点，O为原点，且

22OPOQ，求实数m的值．

例26、已知对于圆x(y1)1上任一点P(x,y)，不等式xym0恒成立，求实数m的取值范围．

例27 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．

解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

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∵AB10，∴A(5,0)，B(5,0)．

设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．因为P地居民购货总费用满足条件：

价格＋A地运费≤价格＋B地的运费

即：3a(x5)ya(x5)y． ∵a0，

∴3(x5)y(x5)y

2222222225215)y2()2 441525,0)为圆心为半径的圆是两地购货的分界线． ∴以点(44圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等．因此可随意从A、B两地之一购货．

化简整理得：(x说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．

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