人教A版数学必修一教案：函数的最大(小)值

一．教學目標

1．知識與技能：

理解函數的最大（小）值及其幾何意義． 學會運用函數圖象理解和研究函數的性質． 2．過程與方法：

通過實例，使學生體會到函數的最大（小）值，實際上是函數圖象的最高（低）點的縱坐標，因而借助函數圖象的直觀性可得出函數的最值，有利於培養以形識數的解題意識．

3．情態與價值

利用函數的單調性和圖象求函數的最大（小）值，解決日常生活中的實際問題，激發學生學習的積極性．

二．教學重點和難點

教學重點：函數的最大（小）值及其幾何意義 教學難點：利用函數的單調性求函數的最大（小）值．

三．學法與教學用具

1．學法：學生通過畫圖、觀察、思考、討論，從而歸納出求函數的最大（小）值的方法和步驟． 2．教學用具：多媒體手段

四．教學思路

（一）創設情景，揭示課題．

畫出下列函數的圖象，指出圖象的最高點或最低點，並說明它能體現函數的什麼特徵？ ①f(x)x3 ②f(x)x322x[1,2]

x[2,2]

③f(x)x2x1 ④f(x)x2x1

（二）研探新知

1．函數最大（小）值定義

最大值：一般地，設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：

（1）對於任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那麼，稱M是函數yf(x)的最大值．

思考：依照函數最大值的定義，結出函數yf(x)的最小值的定義． 注意：

①函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0I，使得f(x0)M；

②函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對於任意的xI，都有f(x)M(f(x)m)．

2．利用函數單調性來判斷函數最大（小）值的方法．

①配方法 ②換元法 ③數形結合法

（三）質疑答辯，排難解惑．

例1．（教材P30例3）利用二次函數的性質確定函數的最大（小）值．

解（略）

例2．將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應定為多少？

解：設利潤為y元，每個售價為x元，則每個漲（x－50）元，從而銷售量減少

10(x50)个,共售出500-10(x-50)=100-10x(个)

∴y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)29000(50x＜100）

∴x70时ymax9000

答：為了賺取最大利潤，售價應定為70元．

例3．求函數y解：（略）

例4．求函數yx1x的最大值．

2解：令t1x0有xt1则

2在區間[2，6] 上的最大值和最小值． x1 ytt1(t)212254t0

1221255 (t)

244 (t)0

原函数的最大值为.

（四）鞏固深化，回饋矯正．

（1）求函數y|x3||x1|的最大值和最小值．

（2）如圖，把截面半徑為25cm的圖形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為x，面積為y，試將y表示成x的函數，並畫出函數的大致圖象，並判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？

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（五）歸納小結

求函數最值的常用方法有：

（1）配方法：即將函數解析式化成含有引數的平方式與常數的和，然後根據變數的取值範圍確定函數的最值．

（2）換元法：通過變數式代換轉化為求二次函數在某區間上的最值． （3）數形結合法：利用函數圖象或幾何方法求出最值．

（六）設置問題，留下懸念．

1．課本P39（A組） 5.

2．求函數yx2x1的最小值．

3．求函數yx2x3当自变量x在下列范围内取值时的最值． ①1x0 ② 0x3 ③x(,) A組

2 25 一、選擇題：

1．若一次函數ykxb(k0)在(,)上是單調減函數，則點(k,b)在直角坐標平面的（ ）

A．上半平面

B．下半平面

C．左半平面

D．右半平面

2．函數y=x2+x+2單調減區間是( )

A ．[－

11,+∞] B．（－1，+∞） C．（－∞，－） D．（－∞，+∞） 2212 B．yx2 C．yx2 D．yx2x1 x3．下列函數在（0，3）上是增函數的是（ ）

A．y4．已知函數f(x)x22(a1)x2在區間（-∞，4）上是減函數，則實數a的取值範圍是（ ）

A．a≥3 B．a≤-3 C．a≥-3 D．a≤5 5．設A=[1，b]（b＞1），f(x)1(x1)21(xA)，若f（x）的值域也是A，則b值是（ ） 237A． B．2 C．3 D．

2226．定義在R上的f（x）滿足f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函數，若f(a1)f(1)，則a

的取值範圍是（ ） A．|a|2 B．|a|>2 C．|a21|1 D．|a|2

二、填空題：

7．若函數f(x)=(-k+3k+4)x+2是增函數，則k 的範圍是 8．定義在區間[a、b]上的增函數f（x），最大值是________，最小值是________。

定義在區間[c，d]上的減函數g（x），最大值是________，最小值是________。

9．一般地，家庭用電量y（千瓦）與氣溫x（℃）有函數關係yf(x)。圖（1）表示某年12個月中每月

的平均氣溫，圖（2）表示某家庭在12個月中每月的用電量. 試在數集A{x|5x30,x是2.5的整數倍}中確定一個最小值x1和最大值x2，使yf(x)是[x1,x2]上的增函數，則區間[x1，x2]= .

2

10．讀圖分析：設定義在4,4的函數yf(x)的圖象 如圖所示（圖中座標點都是實心點），請填寫以下幾個空格：

（1）若yf(x)，x2,3，則y___________。 （2）若yf(x)的定義域為4,4，則函數yf(x1) 的定義域為____________。

（3）該函數的單調增區間為__________、

__________、_________。

-5-4-3-2-154321

y o-1-2-3-4-51234x（4）方程f(x)3（x4,4）的解個數為____(個)。 211．函數yx2x1在區間[-3，a]上是增函數，則a的取值範圍是________。 12．函數fxx21的單調遞增區間是＿＿＿＿＿＿＿。

三、解答題：

13．畫出函數y|xx6|的圖象，並求出此函數的單調區間。 14．利用函數單調性定義，證明函數y

2x在（-1，1）上是增函數。

1x2