理论力学习题解答第九章

理论力学习题解答第九章

9－1在图示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l，AB杆的长度为l，

12轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA杆的角速度为，求整个系统的动量。

5ml12，方向水平向左

题9－1图 题9－2图 9－2 如图所示，均质圆盘半径为R，质量为m ，不计质量的细杆长l，绕轴O转动，角速度为，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩： （a）圆盘固结于杆；

（b）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为；

（c）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为。 （a）

R2LOm(l2)2；（b）LOml2；（c）LOm(R2l2)

9－3水平圆盘可绕铅直轴z转动，如图所示，其对z轴的转动惯量为J。一质量为m的质点，在

z

圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为v，圆的

0半径为r，圆心到盘中心的距离为l。开始运动时，质点在位置M，圆盘角速度为零。求圆盘角速度

0与角间的关系，轴承摩擦不计。

9－4如图所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长度为l，质量忽略不计，A端与滑块A铰接，B端装有质

量m，在铅直平面内可绕点A旋转。设在力偶M

1作用下转动角速度为常数。求滑块A的运动微分方程。

xm1kxl2sintmm1mm1

9－5质量为m ，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。

9－6均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。

a4gsin7；

9－7均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。

9－8平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从图示位置

由静止开始运动。不计摩擦，试求当A即将碰到铰支座O时A端的速度。

9－9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度绕铅直线转动，如图所示。如杆与铅直线的夹角为，求杆的动能。

题9－9图 题9－10图 9－10物质量为m，沿楔状物D的斜面下降，同

1时借绕过滑车C的绳使质量为m的物体B上升，

2如图所示。斜面与水平成角，滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D作用于地

板凸出部分E的水平压力。

Fxm1sinm2m1gcosm1m2

9－11鼓轮重W500N，对轮心O点的回转半径为

0.2m，物块A重Q300N，均质圆轮半径为R，重

为P400N，在倾角为的斜面上只滚动不滑动，其中r0.1m，R0.2m，弹簧刚度系数为k，绳索不可伸长，定滑轮D质量不计。在系统处于静止平衡时，给轮心B以初速度v，求轮沿斜面向上滚过

B0距离s时，轮心的速度vB。

解：轮O、B作平面运动，物块A作平动

T1V1T2V2

①

T11111122222QvA0/gWvA0/gW20/gPvB0/gJBB022222vA0rvB0/Rr,B0vB0/R,JB0vB0/Rr

1PR2/g22

T1vB03P2Wr22Qr2/Rr/4g21

代入已知数据得：T同理T24100vB0/9g24100vB/9g2

取平衡位置为各物体重力势能的零位置，有：VV2112kst212kstssPsinQWsr/Rr2

为确定，考虑静平衡时，O、A及轮B，由

stME0，得：

10T1WQr/Rr由Mst，有：TPsinFWQr/RkrkPsin/k

H00,F0kst

代入①，有

4100vB0/9g211222kst4100vB/9gksts22sPsinQWsr/Rr2B0

解得：vvB9gks/82002

1/2

题9－11图

9－12 均质棒AB的质量为m4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图所示。设其中一绳突然断了，试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的张力F。

F9.8N

9－13图示机构中，物块A、B的质量均为m，两均质圆轮C、D的质量均为2m，半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上，D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：（1）A物块上升的加速度；（2）HE段绳的拉力；（3）固定端K处的约束反力。

aA1g64；F3mg；Fkx0，Fky4.5mg，Mk13.5mgR

K C E H A D B

题9－13图 题9－14图

9－14匀质细杆AB，长为l，放在铅直面内与水平面成角，杆的A端靠在光滑的铅直墙上，B端放

0在光滑的水平面上，杆由静止状态在重力作用下倒下。求：（1）杆在任意位置时的角速度和角加速度；（2）当杆的A端脱离墙时，杆与水平面所成的角多大？

1

1arcsin(sin0)

23

9－15鼓轮重1200N，置于水平面上，外半径R90cm，轮轴半径r60cm，对质心轴C的回转半径60cm。缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A，缠在外轮上的软绳水平地跨过质量不计的定滑轮，吊一重物B，B重P400N。鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4，求轮心C的加速度。

解：分别取轮和重物为研究对象，轮作平面运

动，设其角加速度为，轮心C加速度a，

C由题知aCr，物B加速度aB(Rr)

对轮列平面运动微分方程：

(W/g)aCT2T1F （1）

（2）

0NW，NW，FfN0.4WJIT2(Rr)F(Rr)即：(W/g)(（3）

2r2)T2(Rr)F(Rr)对重物：(P/g)aBPT2，

2即：(P/g)(Rr)PT （4） （2）代入（3）式，有：

(W/g)(2r2)T2(Rr)0.4W(Rr) （5）

2(4)(Rr)：(P/g)(Rr)P(Rr)T(Rr) （6）

22(W/g)(（5）+（6）：

r2)(P/g)(Rr)2P(Rr)0.4W(Rr)

P(Rr)0.4W(Rr)(W/g)(2r2)(P/g)(Rr)2400(1.5)0.412000.32.53rad/s22221200/(9.8)(0.60.6)(400/9.8)(0.90.6)

题9－15图 题9－16图 9－16 三根匀质细杆AB，BC，CA的长均为l，质量均为m，铰接成一等边三角形，在铅垂平面内悬挂在固定铰接支座A上。在图示瞬时C处的铰链销钉突然脱落，系统由静止进入运动，试求销钉脱落的瞬时，（1）杆AC的角加速度；（2）杆BC、ABAC的角加速度BC，AB。

解：（1）取AC为研究对象，杆长为l，质量为m，30

依刚体转动微分方程：

11Jmglsinmgl 24AAC∵JA1ml23 ∴AC111mgl/JAmgl/ml23g/4l443

（顺时针）

（2）分别取AB，BC为研究对象：

AB：

JAAB111mglXB3lYBl422AB （1） （2）

BC：m(lcos300)XB1m(lABsin30lBC)mgYB2JDBC1lYB2 （3）

（4）

B由（2）得：X由（4）得：YB1ml3AB2(1/6)mlBC （5）

（6）

将（5），（6）式代入（1）式，化简后得：

13ml2AB3mglml2BC （7）

将（6）式代入（3）式，化简得：

3mlAB6mg4mlBC （8）

解（7）与（8）式得：

AB18g/55l（逆时针）

将值代入（7）解得：

ABBC69g/55l（顺时针）

9－17图示匀质细长杆AB，质量为m，长度为l，在铅垂位置由静止释放，借A端的水滑轮沿倾斜角为的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。 4sinag 13sin2

解：图（a），初瞬时AB0，以A为基点，则

习题9－17图

τaCaCxaCyaAaCA即aCxlaAaτCAcosaAcos2laCyaτCAsinsin2 （1） （2）

由平面运动微分方程： mamgsin ∴agsin （3）

CxAaACxmaCymgcosFNlJCFNsin21mlF即122 （4）

CaCxFNaτCA

（5）

lNsin2aAmgaCy解（2）、（4）、（5）联立，得 由（1）、（3），得 （6）代入，得

aAaAlcosgsin23gsin2l(13sin2) （6） B(a)



4sing13sin2

题9－17图 题9－18图 9－18匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C

的加速度和D处的约束力。 解：初始静止，杆开始运动瞬时，v必沿支承处切向，

D即沿AB方向，所以a此时沿

D

习题9－18图

AB方向，如图（a），以D为基点： 由aCxntaCyaDaCDaCD

（1）

taCxaCDd1

由AB作平面运动：

maCxmgsinFNmaCymgcos1ml212（2） （3） （4）

A Fd

1NDaDaCyaCxFN由（3），a2Cygcosmg1B解（1）、（2）、（4）联立

12gdsina l12dCx22

(a)

FNmgl2sinl212d2

9－19匀质杆AB，质量为m、长为L，两端均以速度v0下落，且这时杆与铅垂线的夹角为。假设碰撞以后杆将绕A点作定轴转动。试求：（1）碰撞前后的能量损失；（2）B点与水平面即将接触时的速度。

解：动量矩守恒：J1mvLsin 2A03v0sin/2L

时

：

1/2T01212mv0,T1JA23mv0sin2/822112mv013sin224T倒

下

112JA1JA222地

1mgLcos 2着

2mL2129v0sin2/4L2/61mgLcos2得：u

B112L19v0sin23gLcos4

题9－19图 题9－20图 9－20匀质圆柱体的质量m =10kg、半径r =30cm，沿水平轨道以匀速v0 =2m/s作纯滚动时，碰到高h = 6cm的障碍。设恢复系数e = 0，A处有足够的摩擦力，试求：（1）碰撞结束时圆柱体的角速度；（2）使圆柱能超过障碍的v0的大小；（3）碰撞时动能的损失；（4）碰撞冲量的水平

及竖直分量。

解：由对A点冲量矩守恒：

JAJA0mv0rh0v0/r

得：

12h/rv0/r5.78rad/sSYmrsin10.4Ns1v0min应满足：JA2mgh2得：v01.02m/s13SXmv0rcos6.13Ns

9－21两根相同的均质直杆在B处铰接并铅垂静止地悬挂在铰链C处，如图所示。设每杆长l=1.2m，质量m=4kg。现在下端A处作用一个冲量为I=14Ns的水平碰撞力，求碰撞后BC杆的角速度。

BC2.50rad/s（顺时针）

题9－21图 题9－22图 9－22 质量为0.2kg的垒球以水平方向的速度

v48km/h打在一质量为2.4kg的匀质木棒上，木

棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为0.5，求碰撞后棒两端A、B的速度。 v0，v3m/s

AB