最短距离问题

方法指导：复习笔记

最短距离问题转化为 ，转化的方法是 。 习题：

1、已知在平面直角坐标系中，C是x轴上的点，点A（0，3），B（6，5），则AC+BC的最小值是（ ） A、10 B、8 C、6 D、210

2、（2013•济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）

3、（2012•顺平县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BD上一个动点，则PE+PC的最小值是（ ） A、25 B、

4、已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为16，D在AB上，且DB=4，M是在AC上的一动点，则DM+BM的最小值为（ ） A、20 B、16

5、（2009•达州）如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中

点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）

222 C、4 D、6

2 C、16 D、24

6、如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A、3 B、33 C、43 D、6

7、已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ） A、40 B、100 C、140 D、50

8、（2012•兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ） A、130° B、120° C、110° D、100°

9（2013湖北省鄂州市）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ B ） 6 8 10 12 A．B． C． D．

10、（2009•抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）A、23 B、26 C、3 D、6

11、（2010•淮北模拟）如图，已知A、B两村分别距公路l的距离AA’=10km，BB’=40km，且A’B’=50km．在公路l上建一中转站P使AP+BP的最小，则AP+BP的最小值为（ ） A、100km B、80km C、60km D、

12、、（2009•恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB． （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

502

13、（2010•淮安）（1）观察发现：

如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用：（此问不用做）

如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值． （3）拓展延伸：

如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

14、(08河北)（本小题满分10分）

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，ABakm

(a1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且

d1PBBA(km)（其中BPl于点P）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2PAPB(km)（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）．

A

图13-1

观察计算

A B P l C P 图13-2

B l A K C P 图13-3

B l A A （1）在方案一中，d1 km（用含a的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，

d2 km（用含a的式子表示）．

探索归纳

（1）①当a4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当a6时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考右边方框中的方法指导， 方法指导 就a（当a1时）的所有取值情况进

当不易直接比较两个正数m与n的大小时，行分析，要使铺设的管道长度较短，

可以对它们的平方进行比较： 应选择方案一还是方案二？

mn2(mn)(mn)，mn0，

(m2n2)与(mn)的符号相同． 22当mn0时，mn0，即mn； 22 当mn0时，mn0，即mn； 22 当mn0时，mn0，即mn；

答案： 1、A 2、D 3、A 4、A 5、 10、A 11、D 12、（1）S1 40210 S2 10 13、3 22 14、观察计算 （1）a2； （2）a24． 探索归纳

（1）①；②；

22222（2）d1d2(a2)(a24)4a20．

51 6、B 7、B 8、B 9、B S1＞S2 （3）50505 412①当4a200，即a5时，d1d20，d1d20．d1d2； ②当4a200，即a5时，d1d20，d1d20．d1d2； ③当4a200，即a5时，d1d20，d1d20．d1d2． 综上可知：当a5时，选方案二；

当a5时，选方案一或方案二；

当1a5（缺a1不扣分）时，选方案一．

222222