鱼峰区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

鱼峰区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数f(x)3x22axa2，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．22015 B．3C．0∈{0}

2015 C．3

20152

D．220152

2． 下列关系式中，正确的是（ ） A．∅∈{0} B．0⊆{0}

D．∅={0}

y=0的距离是（ ）

3． 抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣A．

B．

C．

D．

4． 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 6． 方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A．两个点

B．四个点

C．两条直线 D．四条直线

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

7． 设函数F（x）=

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f

B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f

8． 已知函数f(x)cos(x的图象（ ）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)

个单位 B．向左平移个单位 2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

33A．向右平移

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精选高中模拟试卷

9． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

10．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A．24 B．18 C．48 D．36

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 11．双曲线A．

B．2

C．

=1（m∈Z）的离心率为（ ） D．3

12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

二、填空题

13．函数

的单调递增区间是 ．

的取值范围 ．

22214．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则

则sinCcos(B15．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc，

)取最大值时C ． 4216．抛物线x4y的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于点P，则FPQ

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精选高中模拟试卷

外接圆的标准方程为_________.

17．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）= ．

18．已知函数f（x）=xm过点（2，），则m= ．

三、解答题

19．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数． （1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；

（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，

220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数．

1111]

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21．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

22．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

23．已知函数f（x）=（1）求f（x）的定义域； （2）判断并证明f（x）的奇偶性； （3）求证：f（）=﹣f（x）．

．

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24．（本题满分15分）

如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；

（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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鱼峰区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

试题分析：因为函数f(x)3x22axa2，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以f10，解得

f102015a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

2Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

132015，

T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 2． 【答案】C

【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，

对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确； 对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．

3． 【答案】C

2

【解析】解：抛物线y=2x的焦点F（，0），

由点到直线的距离公式可知： F到直线x﹣故答案选：C．

4． 【答案】C

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C

5． 【答案】A

．

y=0的距离d=

=，

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【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

6． 【答案】B

2222

【解析】解：方程（x﹣4）+（y﹣4）=0

则x﹣4=0并且y﹣4=0，

2

2

即解得：

， ，

，

，

，

得到4个点． 故选：B．

【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．

7． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

，

=

，

故选：B

8． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx考点：函数yAsinx的图象变换.

5,f'xsinxcosx，所以函数 336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

235ycosxcosx，故选B.

326第 7 页，共 14 页

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9． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

所以所求概率为故选：C

=

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

10．【答案】A

211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.

11．【答案】B

2

【解析】解：由题意，m﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1 22

∵双曲线的方程是y﹣x=1 22

∴a=1，b=3， 222∴c=a+b=4

∴a=1，c=2， ∴离心率为e==2． 故选：B．

【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2．

12．【答案】B

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二、填空题

13．【答案】 [2，3） ．

【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x＞0，求得1＜x＜3，则y=

2

，

本题即求函数t在（1，3）上的减区间．

利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．

14．【答案】 [

，1] ．

【解析】解：设两个向量的夹角为θ， 因为|2﹣|=1，|﹣2|=1， 所以所以所以5

[

所以

，

=

，

=1，所以，1]，

；

2

，所以5a﹣1∈[

，

]，

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精选高中模拟试卷

故答案为：[围．

15．【答案】【解析】

，1]．

【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范

 4考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及

b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为

正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列

111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R222216．【答案】x1y2或x1y2

不同形式【解析】

试题分析：由题意知F0,1，设Px0,11112x0，由y'x，则切线方程为yx02x0xx0，代入

24242,1，可得PFFQ，则FPQ外接圆以PQ为直径，则x10,1得x02，则P2,1,2222222或x1y2.故本题答案填x1y2或x1y2．1

考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 17．【答案】 0.6 ．

2

【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ）， ∴曲线关于x=2对称，

∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．

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y22精选高中模拟试卷

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

18．【答案】 ﹣1 ．

【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得： =2m， 解得：m=﹣1； 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12

2

∴3（a+1）﹣3a（a+1）=12 ∴3a=9∴a=3

2

（2）∵f′（x）=3x﹣3ax，f（0）=b

∴

由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a ∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2

∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减． ∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0） ∵f（0）=b， ∴b=1 ∵

∴f（﹣1）＜f（1）

∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值， ∴∴

，

32

∴f（x）=x﹣2x+1

【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．

20．【答案】（１）x0.0075；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】

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试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1

试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201， ∴x0.0075．

考点：频率分布直方图；中位数；众数． 21．【答案】

【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．

2

∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得

或

．

∴an=1，bn=1；

n﹣1

．

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3（II）当当

时，cn=anbn=1，Sn=n．

n1

时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，

2n1

∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，

3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

2n1n

∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n

∴Sn=（n﹣1）3+1．

nn

﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，

2

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣

x2=λ（λ≠0），

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代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

23．【答案】

2

【解析】解：（1）∵1+x≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）； （2）∵f（﹣x）=∴f（x）为偶函数； （3）∵f（x）=

．

=

=f（x），

∴f（）===﹣=﹣f（x）．

即f（）=﹣f（x）成立．

【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．

3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分 ∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分

24．【答案】（1）详见解析；（2）又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分 ∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分

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（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCE131dSBCD，解得3d32，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， 2d314622.…………15分 ，则sinBEBCCE73BE146

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