圆锥曲线知识点总结

命题与逻辑结构

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px。全称命题的否定是特称命题。 特称命题p：x，px，它的否定p：x，px。特称命题的否定是全称命题。

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圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF。 1||MF2|2ax2y2y2x2椭圆的标准方程为：221（ab0）（焦点在x轴上）或221（ab0）（焦点在y轴

abab上）。

注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中bac；

222x2y2y2x22②在221和221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分

ababx2y21（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时母的大小。例如椭圆

mn表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程221知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

ab②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，

222且|OF2||B2F2||OB2|，即cab；

222c叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时

222椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为xya。

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。

注意：①式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支；

|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射线；③当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做

焦距。

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定义 方程 椭圆和双曲线比较： 椭 圆 双 曲 线 |PF1||PF2|2a(2a|F1F2|) x2y21 a2b2F(c,0) x2y21 b2a2F(0,c) ||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|) x2y21 a2b2F(c,0) y2x21 a2b2F(0,c) 焦点 注意：如何用方程确定焦点的位置！ （2）双曲线的性质 x2y2①范围：从标准方程221，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即

abx2a2，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2②对称性：双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

abx2y2是双曲线221的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里，对称轴是x,y轴，所

abx2y2以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线221的顶点。

ab令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

x2y2图上看，双曲线221的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

ab⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

223）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：xy(0) ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

x2y2y2x21与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意

169916轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y2px2p0叫做抛物线的标准方程。

pp,0），它的准线方程是x ； 22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

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（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22px，x22py，x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py(p0) 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 p(,0) 2px 2x0 (p,0) 2px 2x0 顶点 e1 e1 离心率 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

x轴 (0,0) x轴 (0,0) p(0,) 2py 2y0 y轴 (0,0) e1 p(0,) 2py 2y0 y轴 (0,0) e1 空间向量

1、空间向量的概念：

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

，记作． 3向量的大小称为向量的模（或长度）

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a． 6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：

a在空间以同一点为起点的两个已知向量、b为邻边作平行四边形

C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

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2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当

0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，

a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：abab；结合律：aa．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使ab．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有或若四点，，，C共面，则xyC；xyzCxyz1．

aab9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作a，b，则称为向量，b的夹角，

记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

10、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab．

211、已知两个非零向量a和b，则abcosa,b称为a，b的数量积，记作ab．即ababcosa,b．零

向量与任何向量的数量积为0．

12、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积． 13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；

2aba与b同向，aaa，aaa； 2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab．

ab14.数量积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．

黄俊兴制作 第 5 页

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组x,y,z，使得

pxaybzc．

16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

17、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组

x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作

px,y,z．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．

18、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2． 2abx1x2,y1y2,z1z2．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．

6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．

7aaax12y12z12．

xxyyzzab8cosa,b212221221222．

abx1y1z1x2y2z29x1,y1,z1，x2,y2,z2，则dx2x1y2y1z2z1．

22219、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的

位置向量．

20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表

示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，

还可以具体表示出直线l上的任意一点．

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21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量

分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就

确定了平面的位置．

22、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//b

abR，ababab0．

24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且，则 ，．

25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则 ，．

26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有 ．

27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．

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