2020陕西省高三理科数学教学质量检测(二)答案

数学（理科）答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1C2B3A4B5D6A7A8D9C10D11B12C评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.130.51415163或12573评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分，13题评分标准：写成三、解答题：共70分.评分标准1.导函数：求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏.遗漏不给分.取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分.2.选做题：（极坐标方程）直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分.（解不等式）解集要写成集合或区间，未写扣1分.3.具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分.4.试题有不同解法时，解法正确可酌情给分.1

也可给分，14题评分标准：写成1.5或1也可给分.217．解：（Ⅰ）证明：∵AE∥BF，且AE＝BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∴AB∥EF.∵PM＝3CM，BF＝3FC，∠MCF＝∠PCB，∴△MCF∽△PCB，∴MF∥PB.∵MF，EF平面MEF，MF∩EF＝F，PB，AB平面PAB，PB∩AB＝B，∴平面MEF∥平面PAB.（Ⅱ）如图，连接AC，BD相交于点O，连接PO.∵四棱锥P－ABCD为正四棱锥，∴OA＝OC＝OB＝OD＝2，AC⊥BD，又PA＝PC＝3，∴PO＝1，且PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，∴OB，OC，OP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）（3分）（1分）则A(0，－2，0)，B(2，0，0)，C(0,322－，－，02，0)，D(－2，0，0)，E，44232321，，00，，F4，M444，P(0，0，1)，322－，－，－1→→∴EF＝(2，2，0)，PE＝，44321－，－2，－→ME＝44，令平面PEF的法向量为m＝(x，y，z)，→m·EF＝0，→m·PE＝0，2x＋2y＝0，即322－x－y－z＝0，44则x＝－y，解得z＝2y，2∴取x＝－2，则y＝2，z＝2，故m＝(－2，2,2)，同理可得平面MEF的一个法向量n＝(－1，1，－2)，∴cos〈m，n〉＝1m·n2＋2－210＝＝＝，|m||n|1010×21010.10（12分）∴锐二面角P－EF－M的余弦值为18．解：（Ⅰ）由题意可得当n＝1时，2a1＝a1a2，∴a2＝2；当n≥2时，2Sn＝anan＋1，2Sn－1＝an－1an，∴2an＝an(an＋1－an－1)．∵an>0，∴an＋1－an－1＝2(n≥2)，（3分）∴数列{an}的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项也是公差为2的等差数列．又∵a2－a1＝1，∴数列{an}是公差为1的等差数列，∴an＝n.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知bna2n2,ann,∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n×2n1，＋

（6分）n（8分）两式相减得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝∴Tn＝(n－1)2n1＋2＝n·2n1＋2－2n1.＋

＋

＋

2（1－2n）－n×2n＋1＝－(n－1)2n＋1－2，1－2（10分）（11分）（12分）∵当n≥1时，2－2n1≤2－4＝－2<0，＋

∴Tn19．解：（Ⅰ）由2×2列联表可得K2＝100×（25×20－25×30）2

≈1.010<2.072，50×50×55×45∴没有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．（4分）（Ⅱ）调查结果为一般的市民中有男25人，女20人，人数之比为5∶4，所以按分层抽样抽取的9人中，男5人，女4人．设“这三位市民中男女都有”为事件A，则P（A）＝2213C1C351455C4＋C5C45＋C4

＝（或P（A）＝1－＝1－＝）.（8分）36846C3C99

（Ⅲ）由2×2列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为0.55，k10k

∴P（X＝k）＝Ck，k＝0，1，2，3，…，10，10×0.55×（1－0.55）－

∴X～B（10，0.55），∴E（X）＝10×0.55＝5.5，D（X）＝10×0.55×（1－0.55）＝2.475，∴随机变量X的期望为5.5，方差为2.475.（12分）20．解：（Ⅰ）由题意可得f′(x）＝ex（x2＋ax＋1）＋ex（2x＋a）＝ex[x2＋（a＋2）x＋a＋1]＝ex（x＋1）（x＋a＋1）．当a<0时，－a－1>－1，函数f(x)的单调性和极值如表：xf′(x)f(x)（－∞，－1）＋递增－10极大值（－1，－a－1）－递减－a－10极小值（－a－1，＋∞）＋递增2－a∴f（x）极大值＝f（－1）＝，e当a＝0时，－a－1＝－1，f′（x）≥0，函数f（x）在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f（x）无极值；当a>0时，－a－1<－1，函数f（x）的单调性和极值如表：xf′(x)f(x)（－∞，－a－1）＋递增－a－10极大值（－a－1，－1）－递减－10极小值（－1，＋∞）＋递增f（x）极小值＝f（－1）＝2－a.e2＋a2－a综上所述，当a<0时，函数f(x)的极大值为，极小值为＋；eea1当a＝0时，无极值；当a>0时，函数f(x)的极大值为(Ⅱ)证明：由题意得30.2＋a2－a，极小值为.（6分）＋1aee由(Ⅰ)可知x1＝－a－1，x2＝－1，∴g(a)在(3，4)上单调递减，35∴g(4)∴椭圆C的标准方程为＋y＝1.4c3解法二：由题意可得离心率e＝＝，a2又a2＝b2＋c2，∴a＝2b，c＝3b，（5分）令椭圆上任意一点Q(2bcosα，bsinα)，3bsinα－∴|PQ|2＝(2bcosα)2＋2＝4b2－3b2sin2α－3bsinα＋sinα＋122b＋3.942＝4b2－3b212当0<≤1时，|PQ|2max＝4b＋3＝7，2b∴b＝1，满足2b>1；当1922>1时，|PQ|2max＝4b－3b＋3b＋＝7，2b4－3＋271解得b＝(负值舍去)，2b＝－3＋27>1，则<1，不满足条件，舍去．2b2综上，a＝2，b＝1，x2

椭圆C的标准方程为＋y2＝1.4(Ⅱ)设M点坐标为(xM，0)(－2≤xM≤2)，直线l的方程为x＝my＋1，联立直线方程与椭圆方程化简得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，令A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由韦达定理可得y1＋y2＝－2m－3，y1y2＝，22m＋4m＋4（7分）（5分）则|AB|＝1＋m2·－2m2－3m2＋4－4×，m2＋42

化简得|AB|＝41＋m·m2＋3，（m2＋4）2|xM－1|1＋m，m2＋3，（9分）（m2＋4）2

点M到直线l的距离d＝2

1∴△MAB的面积S＝×|AB|×d＝2|xM－1|·2令t＝m2＋3≥3，则S＝2|xM－1|t（t＋1）2

＝2|xM－1|1，t＋2＋t11116当t≥3时，t＋＋2≥3＋＋2＝，t33当且仅当t＝3，m＝0时等号成立，3此时0<≤116，∴t＋2＋t13≤14.t＋2＋t1∵－2≤xM≤2，∴当且仅当xM＝－2时，|xM－1|取到最大值为3，此时△MAB面积S取到最大值，（11分）33即Smax＝，此时直线l的方程为x＝1，点M的坐标为(－2，0)．2综上，△MAB面积的最大值为22．解：(Ⅰ)由x＝x＝将8，2＋t(t为参数)消去参数t，8得x≠0，2＋t33.2（12分）（1分）4ty＝2＋t得直线l的普通方程为x＋y－4＝0(x≠0)．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，将y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2代入上式，得x2＋y2－2y＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.（2分）（3分）（4分）（5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)可知直线l的普通方程为x＋y－4＝0(x≠0)，（6分）化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－4＝0θ≠π2，（7分）ππρA，ρB，π当θ＝(ρ>0)时，设A，B两点的极坐标分别为（8分）4，4，则ρA＝22，4πρB＝2sin＝2，4所以|AB|＝|ρA－ρB|＝|22－2|＝2.（9分）（10分）23．解：(Ⅰ)由|a|＋|b|≥|a－b|可得f(x)≥|t－1|，则|t－1|＝1.∵t>0，∴t＝2.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知t＝2，∴a3＋b3＝2，a＋b23(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)·2＝2＋(a＋b)3(当且仅当（5分）a＝b＝1时等号成立)，∴(a＋b)3≤8，故a＋b≤2.4（10分）