4.1数列的概念(2)导学案-

1. 理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题. 2.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.

重点：数列递推公式 及数列的前n项和与通项的关系

难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式

一、数列的递推公式

像𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1(𝑛≥2) 这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了 点睛：通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映了a与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值a;递推关系

n

n

则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求a,需将与之联系

n

的各项依次求出.

二、数列的通项与前n项和

1.数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{a}的前n项和,记作S,即S=a+a+…+a.

n

n

n

n

1

2

n

如果数列{a}的前n项和S与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做

n

n

这个数列的前n项和公式. 𝑆,𝑛=1,2.an={1

𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.

点睛(1)已知数列{a}的前n项和S,求a,一般使用公式a=S-S(n≥2),

n

n

n

n

n

n-1

但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N). (2)由S-S

n

n-1

*

求得的a,若当n=1时,a的值不等于S的值,

n

1

1

𝑆,𝑛=1,

则数列的通项公式应采用分段表示,即an={1

𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.1.设数列{a}满足a=1,an=1+a(n∈N*,n>1),则a3= .

n

1

n-1

1

2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)递推公式也是表示数列的一种方法．( )

(2)所有数列都有递推公式．( ) (3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.( )

3.已知数列{a}的前n项和S=n+2,求数列{a}的通项公式.

n

n

n

2

一、 课前小测

1

1．数列{an}的通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，则a5＝( )

2A．10 B．12 C．14 D．16

2．由数列前四项：，1，，，…，则通项公式an______．

83．已知数列的前几项是0、二、新知探究

例4. 图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式

32538123、、、4916，写出这个数列的一个通项公式是_________．

换个角度观察图中的4个图形，可以发现𝑎1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前4项满足 𝑎1=1，𝑎2=3𝑎1，𝑎3=3𝑎2，𝑎4=3𝑎3

1， 𝑛=1

由此猜测，这个数列满足公式𝑎𝑛={

3𝑎𝑛−1, 𝑛≥2三、典例解析

例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+

由递推公式写出数列的项的方法

根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

(-1)𝑛2

(n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项.

跟踪训练1 已知数列{a}满足a=4a+3,且a=0,则此数列的第5项是( )

n

n

n-1

1

A.15 B.255 C.16 D.63

跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式． 例2 若数列{a}的前n项和S=-2n+10n,求数列{a}的通项公式.

n

n

n

2

变式探究：试求本例中S的最大值.

n

已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1.

(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，

S1，n＝1，

那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝

Sn－Sn－1，n≥2.

跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.

1.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2𝑛,则该数列的第3项等于( ) A.1

B.4 C.4

n

n-1

n

2

3

11

13

D.8

5

2.已知数列{a},a=ma+1(n>1),且a=3,a=5,则实数m等于( ) A.0 B. 5 C.2 D.5

3.若数列{a}的通项公式为a=-2n+25n,则数列{a}的各项中最大项是( )

n

n

n

2

2

A.第4项

B.第5项 C.第6项 .D.第7项

4.已知数列{a}的前n项和为S,且S=n-5a+23,n∈N,则数列{a}的通项公式a=( )

n

n

n

n

n

n

*

A.3×()

6

5𝑛-1

-1

B.3×()-1 C.3×()

66

1

1

𝑛

5𝑛5𝑛-1

+1

D.3×()+1

6

5𝑛

5. (1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+−求数列的通项公式an.

𝑛+1

,n∈N*,

(2)在数列{an}中,a1=1,an=(1-𝑛)an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. 1

参：

知识梳理

1.解析:由已知,得a2=1+=2,a3=1+

𝑎11

1𝑎2

=.

2

3

答案:2 2.（1）√（2）×（3）√ 3.解:a=S=1+2=3,①

1

1

3

而n≥2时,a=S-S=(n+2)-[(n-1)+2]=2n-1.②

n

n

n-1

22

3,𝑛=1,

在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a不适合②式.∴数列{a}的通项公式为an={

2𝑛-1,𝑛≥2.1n学习过程 一、 课前小测

1

1．B 解析：由题意，通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，

21

则a5＝×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.

22．

n2【详解】由题意，该数列前四项可变为： 2n3456，，，，…， 24816由此可归纳得到数列的通项公式为an3． ana1n2． 2nn1nN*【详解】该数列的前四项可表示为 2n3102a2，a32，a42， 2，23124n1nN*. 2n因此，该数列的一个通项公式为an二、 新知探究

例4. 解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为 1,3,9,27

即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1， 因此这个数列的通项公式是𝑎𝑛=3𝑛−1 三、 典例解析

例1分析:由a的值和递推公式,分别逐一求出a,a,a,a的值.

1

2

3

4

5

解:由题意,得a2=3a1+所以a2=3×1+同理a3=3a2+

(-1)22

(-1)22

,而a1=1,

=2.

(-1)42

7

(-1)32

=10,a4=3a3+

1

=

2

612

,a5=3a4+

1

(-1)52

=91.

2

4

3

5

4

跟踪训练1解析:因为a=0,所以a=4a+3=3,a=4a+3=15,a=4a+3=63,a=4a+3=255.

3

答案:B

跟踪训练2.解：由a1＝2，an＋1＝2an， 得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， …，

猜想an＝2n(n∈N*)． 例2 解:∵S=-2n+10n,

n

2

∴S=-2(n-1)+10(n-1),

n-1

2

∴a=S-S=-2n+10n+2(n-1)-10(n-1)=-4n+12(n≥2).

n

n

n-1

22

当n=1时,a=-2+10=8=-4×1+12.

1

此时满足a=-4n+12,

n

∴a=12-4n.

n

变式探究： 解:∵Sn=-2n2+10n=-2(𝑛-)+

2又∵n∈N,

*

52

252

,

∴当n=2或n=3时,S最大,即S或S最大.

n

2

3

跟踪训练3.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1， ∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6. ∴当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5. 又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，

2，n＝1，∴an＝

6n－5，n≥2.

达标检测

1.解析:a2=2a1+2=1,a3=2a2+22=4. 答案:C

2.解析:由题意,得a=ma+1,即3=5m+1,解得m=5.

2

3

11113

2

答案:B 3. 解析:因为an

=-2n2+25n=-2

(𝑛-4)+

252

6258

,且n∈N*,

所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项. 答案:C

4.解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=6an-1+6, 即an-1=(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,为公比的等比数列,

6

6

5

5

5

1

则an-1=3×(6)答案:C

5𝑛-1

,所以an=3×(6)5𝑛-1

+1.故选C.

5. 分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=𝑛−𝑛+1,再利用累加法求通项公式;(2)先将递推公式化为𝑎𝑛=

𝑛-1

11𝑎

𝑛-1𝑛

,再利用累乘法求通项公式.

1

1

解:(1)∵an+1-an=𝑛−𝑛+1,

∴a2-a1=1−2,a3-a2=2−3,a4-a3=3−4,…,an-an-1=𝑛-1−𝑛(n≥2),

11111111

将以上n-1个式子相加,得

∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =(1-2)+(2-3)+…+(𝑛-1-𝑛), 即an-a1=1-(n≥2,n∈N*).

𝑛1

1

11

1

1

∴an=a1+1-𝑛=-1+1-𝑛=-𝑛(n≥2,n∈N*).

又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-.

𝑛1

111

(2)因为a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),

𝑛所以𝑎𝑛=

𝑛-1

1

𝑎𝑛-1𝑛

,

𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2

所以an==

𝑛-1𝑛

𝑎𝑛

𝑎𝑛-1

··

𝑎𝑛-2𝑎𝑛-3

·…·

1

𝑎3𝑎2

·

𝑎2𝑎1

·a1

·

𝑛-2𝑛-1

·

𝑛-3𝑛-2

·…···1=.

32

𝑛

21

又因为当n=1时,a1=1,符合上式, 所以an=.

𝑛1