高三数学一轮复习第1课时变化率与导数学案

高三数学一轮复习 第1课时 变化率与导数学案

【课本导读】 1．导数的概念

(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的 ，记作：即f′(x0)＝lim

Δx→0

或f′(x0)，

fx0＋ΔxΔx－fx0

. (2)当把上式中的x0看做变量x时，f′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即y′＝f′(x)＝lim

Δx→0

fx＋ΔxΔx－fx.

2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是

，即曲线

y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为 ．

3．基本初等函数的导数公式

n*

(1)C′＝ (C为常数)； (2)(x)′＝ (n∈Q)； (3)(sinx)′＝ ； (4)(cosx)′＝ ；

xx(5)(a)′＝ ； (6)(e)′＝ ； (7)(logax)′＝ ； (8)(lnx)′＝ . 4．两个函数的四则运算的导数 若u(x)、v(x)的导数都存在，则

(1)(u±v)′＝ ； (2)(u·v)′＝ ； (3)()′＝ ； (4)(cu)′＝ (c为常数)．

【教材回归】

1232

1．(课本习题改编)某汽车的路程函数是s(t)＝2t－gt(g＝10 m/s)，则当t＝2 s时，汽车的

2加速度是( )

22

A．14 m/s B．4 m/s

22

C．10 m/s D．－4 m/s 2．计算：

43

(1)(x－3x＋1)′＝________. 1

(2)(ln)′＝________.

uvxx(3)(xe)′＝______.

(4)(sinx·cosx)′＝______.

x3．曲线y＝xe＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．

1

4．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝

π

附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为( ) 2

A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定

5．若曲线y＝xα

＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.

【授人以渔】

题型一 利用定义求系数

例1 (1)用导数的定义求函数f(x)＝1

x在x＝1处的导数

(2)设f(x)＝x3

－8x，则lim

f＋Δx－f＝______；

Δx→0

Δxlim

fx－fx－2

＝______；lim

f－k－f2k＝______.

x→2

k→0

思考题1 (1)求函数y＝x2

＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．

(2)已知f′(a)＝3，则lim

fa＋3h－fa－hh＝________.

h→0

题型二 导数运算

例2 求下列函数的导数：

(1)y＝(3x3

－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2

sinxx2cos2；

(3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝

lnxx2＋1

.

思考题2 (1)求下列各函数的导数：

①y＝x＋x5＋sinxx2

；

2

②y＝(1－x)(1＋

1

x)；

③y＝－sin(1－2cos)；

24

④y＝tanx；

(2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)等于( )

69

A．2 B．2

1215

C．2 D．2

题型三 导数的几何意义 134

例3 已知曲线y＝x＋.

33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

思考题3 求过点(1，－1)的曲线y＝x－2x的切线方程．

【本课总结】

1．求f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，有两种方法： (1)定义法：f′(x0)＝lim

Δx→0

3

x2

xfx0＋ΔxΔx－fx0

. (2)利用导函数求值，即先求f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)，再求f′(x0)．

2．求复合函数的导数时，应选好中间变量，将复合函数分解为几个基本函数，然后从外层到内层依次求导．

3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则f′(x)即为曲线f(x)在点x0处的切线斜率． 4．求曲线的切线方程时，若不知切点，应先设切点，列等式求切点． 【自助餐】

32

1．有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时

t速度为________．

2

2．若曲线y＝ax－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

3

3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0

C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数

4．设函数y＝xsinx＋cosx的图像上在点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图像大致为( )

432

5．若函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．

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