(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π5π
]时，f(x)＝sinx，则f()的值为( ) 23
11A．－ B. 2233C．－ D.
22
答案：D
π
解析：∵f(x)是偶函数，当x∈[0，]时，
2
π
f(x)＝sinx，∴当x∈[－，0]时，
2
f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx
5π
又∵f(x)的最小正周期是π，∴f()
3
πππ3＝f(2π－)＝f(－)＝－sin(－)＝.故选D.
3332
2．设点P是函数f(x)＝29sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的
π
距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是( )
8
A．2π B．π ππC. D. 24答案：C
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
Tπ
由题意得＝，
48π
∴T＝，故选C.
23．(2009·珠海模拟)y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小正周期和最小值为( ) A．π，0 B．2π，0 C．π，2－2 D．2π，2－2 答案：C
解析：f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x ＝1＋sin2x＋(1＋cos2x)
π
＝2＋2sin(2x＋) 4
π
最小正周期为π，当sin(2x＋)＝－1，取得最小值为2－2.
4
4．(2008·广东·文·5)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
π
C．最小正周期为的奇函数
2π
D．最小正周期为的偶函数
2
答案：D
2
解析：∵f(x)＝(1＋cos2x)·sinx ＝(1＋2cos2x－1)·sin2x
1211－cos4x22
＝2sinxcosx＝sin2x＝· 222
12ππ＝(1－cos4x)，∴T＝＝. 442
π
故f(x)是以为最小正周期的偶函数．故选D.
2
5．(2008·河南四校联考)将函数f(x)＝3sin2x－cos2x的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为( )
π5πA. B. 66π5πC. D. 1212答案：D
ππ
解析：化简f(x)＝2sin(2x－)，右移θ(θ>0)个单位得f(x)＝2sin(2x－2θ－)为奇函数时，
66
π5π
至少有2θ＋＝π，θ＝.故选D.
612
a＋b，ab≤0，
6．(2008·杭州模拟)定义运算ab＝a则函数f(x)＝(sinx)(cosx)的最小
，ab>0b
值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：B
sinx＋cosx，sinxcosx≤0
解析：f(x)＝sinx
cosx，sinxcosx>0
π
)，kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，2sin(x＋π42
＝π
tanx，kπ 3π5ππ 7．cos(α＋β)＝，sin(β－)＝，α，β∈(0，)，那么cos(α＋)的值为( ) 541324 23A. B. 225636C. D. 6565答案：C π3 解析：∵α，β∈(0，)，cos(α＋β)＝>0， 25 π5 sin(β－)＝>0， 413 4π12 ∴sin(α＋β)＝，cos(β－)＝， 5413ππ ∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)] 44 ππ ＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－) 44 3124556 ＝×＋×＝.故选C. 51351365 π 8．(2009·聊城模拟)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)是奇函数，且在[0，]上是减 4 函数的θ的一个值是( ) π2πA. B. 334π5πC. D. 33答案：B 解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ) π ＝2sin(2x＋θ＋)， 3 ππ ∵f(x)为奇函数，∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－(k∈Z)． 33 π2 又∵f(x)在[0，]上是减函数，∴θ＝π.故选B. 43 π 9．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最小值，则函4 3π 数y＝f(－x)是( ) 4 A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 3π B．偶函数且它的图象关于点(，0)对称 23π C．奇函数且它的图象关于点(，0)对称 2 D．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 答案：D π 解析：据题意，当x＝时，函数取得最小值，由三角函数的图象与性质可知其图象必关 4 π 于直线x＝对称， 4 π 故必有f(0)＝f()⇒a＝－b， 2 π3π 故原函数f(x)＝asinx＋acosx＝2asin(x＋)，从而f(－x)＝2asinx，易知其为奇函数且 44 关于点(π，0)对称．故选D. 1 10．(2009·北京市东城区)向量a＝(，3sinx)，b＝(cos2x，cosx)，f(x)＝a·b，为了得到 2 函数y＝f(x)的图象，可将函数y＝sin2x的图象( ) π A．向右平移个单位长度 6π B．向右平移个单位长度 12π C．向左平移个单位长度 6π D．向左平移个单位长度 12 答案：D 113ππ 解析：f(x)＝a·b＝cos2x＋3sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，故选 222612 D. π 11．(2009·湖北八校联考)若函数f(x)＝2cos(2x＋φ)是奇函数，且在(0，)上是增函数，则 4 实数φ可能是( ) πA．－ B．0 2πC. D．π 2 答案：A 解析：∵f(x)＝2cos(2x＋φ)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)； 即f(－x)＋f(x)＝0⇒2cos(－2x＋φ)＋2cos(2x＋φ)＝0 ⇒cos(2x－φ)＋cos(2x＋φ)＝0 π ⇒2cos2xcosφ＝0⇒cosφ＝0⇒φ＝kπ＋(k∈Z)． 2 πππ 结合选项，－与均符合，而函数f(x)＝2cos(2x＋φ)在(0，)上是增函数，则易得：x＝ 224 ππ －符合要求，x＝不符合要求．故选A. 2212．(2009·黄岗3月)已知命题：①已知函数y＝2sin(x＋φ)(0<φ<π)的图象如图甲所示，则π5π22 φ＝或；②过如图乙所示阴影部分区域内的点可以作双曲线x－y＝1同一支的两条切线； 66 →→→ ③已知A、B、C是平面内不同的点，且OA＝αOB＋βOC，则α＋β＝1是A、B、C三点共线的充要条件．其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2 答案：A B．1 D．3 1π 解析：对于命题①，依题意，sinφ＝，再结合图象可知φ＝，因此①错；对于命题②， 2622 过阴影部分区域内的点不能作双曲线x－y＝1同一支的两条切线，②错；对于命题③，当O点与A、B、C三点在同一直线上时，α＋β可以不等于1，所以③错． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13 13．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________. 55 1 答案： 2 1 解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinα×sinβ＝① 5 3 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinα×sinβ＝② 5 21 由①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝ 55 sinαsinβ1 则tanαtanβ＝＝. cosαcosβ2 14．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________． 答案：1 解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝ －sinx x∈[π，2π] 如图所示，则k的取值范围是1 15．若f(x)＝asin(x＋)＋bsin(x－)(ab≠0)是偶函数，则有序实数对(a，b)可以是________， 44 (注：只要填满足a＋b＝0的一组数字即可)(写出你认为正确的一组即可)． 答案：(1，－1) 解析：当a＝1，b＝－1时，满足a＋b＝0. ππ 此时，y＝sin(x＋)－sin(x－) 44 2222＝sinx＋cosx－(sinx－cosx) 2222＝2cosx，为偶函数． 3 16．(2008·福州模拟)关于函数f(x)＝2sin(3x－π)，有下列命题： 4 2 ①其最小正周期为π； 3 3 ②其图象由y＝2sin3x向左平移个单位而得到； 4 π5π ③在[，]上为单调递增函数，则其中真命题为________(写出你认为正确答案的序号)． 1212答案：①③ 2π 解析：∵T＝，∴①对； 3 3 对于②，y＝2sin3x向左平移个单位 4 3 ⇔y＝2sin3(x＋)，不是f(x)，∴②不对； 4 3ππ5π 对于③，f(x)＝2sin(3x－)，x∈[，]时， 41212 π5π3πππ3x∈[，]，3x－∈[－，]， 44422π5π ∴在[，]上为单调增函数．∴③对． 1212 三、解答题(本大题共6小题，共70分) ππ，π，且sin(α＋β)＝33，cosβ＝－5，求17．(本小题满分10分)已知α∈0，，β∈226513 sinα. π512 [解] ∴β∈(，π)，cosβ＝－，∴sinβ＝. 21313ππ 又∵0<α<，<β<π， 22 π3π33∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝， 2265π ∴<α＋β<π， 2 cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β) 33256 ＝－1－＝－. 6565 ∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ ＝ 33556123·(－)－(－)·＝. 651365135 π 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)(x∈R)的部分图象 2 如右图所示． (1)求f(x)的表达式； π (2)设g(x)＝f(x)－3f(x＋)，求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合． 4 解：(1)由图象可知：A＝1， Tπππ 函数f(x)的周期T满足：＝－＝，T＝π， 43124 2π ∴T＝＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)． ω π 又f(x)图象过点(，1)， 12 ππππ ∴f()＝sin(＋φ)＝1，＋φ＝2kπ＋(k∈Z)． 12662πππ又|φ|<，故φ＝.∴f(x)＝sin(2x＋)． 233 π (2)解法一：g(x)＝f(x)－3f(x＋) 4 πππ ＝sin(2x＋)－3sin(2x＋＋) 323π5π ＝sin(2x＋)－3sin(2x＋) 36 1333 ＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x 2222＝2sin2x， ππ 由2x＝2kπ－(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)， 24 ∴g(x)的最小值为－2，相应的x的取值集合为 π {x|x＝kπ－，k∈Z}． 4 π 解法二：g(x)＝f(x)－3f(x＋) 4 πππ ＝sin(2x＋)－3sin(2x＋＋) 323ππ ＝sin(2x＋)－3cos(2x＋) 33ππ ＝2sin[(2x＋)－]＝2sin2x， 33ππ 由2x＝2kπ－(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)， 24 ∴g(x)的最小值为－2，相应的x的取值集合为 π {x|x＝kπ－，k∈Z}． 4 π5π 19．(本小题满分12分)(2009·成都二测)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)，且f() 26 ＝－A. (1)求φ的值； 3π5ππππ (2)若f(α)＝A，f(β＋)＝A，且<α<，0<β<，求cos(2α＋2β－)的值． 512136346 5π5π 解：(1)由题意f()＝－A⇒Asin(＋φ)＝－A. 63 5π5π3π ∴sin(＋φ)＝－1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 332ππ∵|φ|<，∴φ＝－. 26 π (2)由(1)可知，f(x)＝Asin(2x－)． 6 3π3 ∵f(α)＝A⇒Asin(2α－)＝A， 565π3 ∴sin(2α－)＝. 65πππππ又∵<α<，∴<2α－<， 63662 π4 ∴cos(2α－)＝. 65π5ππ5 又f(β＋)＝A⇒Asin(2β＋－)＝A， 121366135 ∴sin2β＝. 13ππ12 ∵0<β<，∴0<2β<，∴cos2β＝. 4213 πππ4123533 ∴cos(2α＋2β－)＝cos(2α－)cos2β－sin(2α－)·sin2β＝×－×＝. 66651351365 22 20．(本小题满分12分)已知tanα、tanβ是方程x－4x－2＝0的两个实根，求：cos(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值． 解：由已知有tanα＋tanβ＝4， tanα·tanβ＝－2， tanα＋tanβ4 ∴tan(α＋β)＝＝， 1－tanαtanβ3 22 cos(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin(α＋β) cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)＝ 22cos(α＋β)＋sin(α＋β) 1＋2tan(α＋β)－3tan2(α＋β)＝ 21＋tan(α＋β)416 1＋2×－3× 393 ＝＝－. 1651＋ 9 7ππ 21．(本小题满分12分)把曲线C：y＝sin(－x)·cos(x＋)向右平移a(a>0)个单位，得到 88 π 的曲线C′关于直线x＝对称． 4 (1)求a的最小值； 8π9π (2)就a的最小值证明：当x∈(－，－)时，曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于 78 零． 7ππ (1)解：∵y＝sin(－x)·cos(x＋) 88 1π ∴曲线C′方程为y＝sin[2(x－a)＋]， 24π 它关于直线x＝对称， 4 1ππ1∴sin[2(－a)＋]＝±， 2442πππ 即2(－a)＋＝kπ＋(k∈Z)， 442 πkπ 解得a＝－(k∈Z)， 82 π ∵a>0，∴a的最小值是. 8 π1 (2)证明：当a＝时，曲线C′的方程为y＝sin2x. 821 由函数y＝sin2x的图象可知： 28π9π1 当x∈(－，－)时，函数y＝sin2x是增函数， 782 所以当x1 所以>0，即斜率恒大于零． x2－x1 22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直π线x＝. 8 (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间； (3)证明：直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切． π (1)解：∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴， 8π∴sin2× 8＋φ＝±1， ππ ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. 42 3π ∵－π<φ<0，∴φ＝－. 43π3π (2)解：由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)． 44π3ππ 由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z. 242 π5 则kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z 88 3ππ5π 所以函数y＝sin(2x－)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z. 488 3π3π (3)证明：∵|y′|＝|(sin(2x－))′|＝|2cos(2x－)|≤2，∴曲线y＝f(x)的切线斜率的取值 44 5 范围是[－2,2]，而直线5x－2y＋c＝0的斜率为>2所以直线5x－2y＋c＝0与函数y＝sin(2x 2 3π －)的图象不相切． 4 ππ ＝sin(x＋)cos(x＋) 881π＝sin(2x＋)， 24 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容