将具有“垃圾分类”背景的数学问题引入课堂教学

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将具有“垃圾分类”背景的数学问题引入课堂教学

201400 上海市奉贤区教育学院袁晓婷

摘要：问题是数学的心脏，聚焦真实情境的问题解决能发展学生能力、培养学习品格，体现学科育 人的价值.依托社会热点话题“垃圾分类”，笔者以数学的眼光观察生活中垃圾分类的数学问题，从 数学角度对数据进行整合提炼、概括，形成可探究的数学问题，并建立适当的数学模型进行分析与

解释，引导学生自主提出有关垃圾分类的数学问题，并尝试建立合适的数学模型解决问题.关键词：垃圾分类；数学建模

建构主义认为：“学习者想要达成有意义的学 习，最好的办法就是让学习者到现实世界的真实环 二、以“锚”定“垃圾分类”为话题的课堂实践

境中去感受、去体验，通过获取直接经验来学习.”这 本节课的教学目标是通过复习百分率的应用引 一过程被形象地比喻为“抛锚”，当教学中的问题被 出一元高次方程的应用题，体验列方程解应用题的 确定了，整个教学内容和教学进程就如同一艘轮船 一般方法与步骤.数学课堂若是按照教材例题进行 的“描”被固定了，从而围绕“描”精心设计问题.照本宣科，学生也可理解、运用、解决类似问题，但数 学的价值并不是简单的模仿套公式，而要将问题解 一、立足问题解决的教学意义

决与实际生活相联系.笔者围绕课标与教材，确定适 哈尔莫斯曾说过：“问题构成数学的心脏.”数学 切的教学目标，以热点话题“垃圾分类”为问题背景， 教学是为更好地解决数学问题服务的.问题解决是 开发适合八年级第二学期学生学习的素材，从生活 一种人类创造性的教学活动，当下世界各国都十分 实际中提炼出数学问题，依托垃圾分类，体现方程的 关注学生的数学应用能力，各国课程标准都将问题 应用价值，透过数据强化垃圾分类的重要性，增强学 解决置于重要位置，上海市2019年初中数学的教学 生的数学应用意识，使学科育人价值得到充分体现.

主题即为“立足单元设计，聚焦问题解决，关注学习 (_)抛出合适的低起点问题引入课题

进程

由旧知增长率问题引人本节课，抛出以“垃圾分 (_)促进学生数学基本知识与技能的掌握类”为故事背景的“销”，由旧知增长率代替教材折旧 好的数学问题包含着重要的数学原理，并且蕴 率，知识内容本质相同，都是讨论“率”的话题，除了 对知识回顾以外，也对整堂课“垃圾分类”为主线的 涵着重要的数学思想方法，不仅问题有价值，解决问 问题研究进行介绍与初认识.

题所涉及的思维模式也同样有价值.问题解决能够 问

题

你知道你每天会产生多少垃圾吗？

促进学生对数学基本知识和基本技能的掌握，有利 1.随着我们的生活越来越便利、物品越来越丰 于学生掌握有关的数学知识和思想方法.同时，一个 富，我们丢弃的生活垃圾也就变得越来越多.上海市 好的问题可以不断进行推广或扩充，产生新的问题、 2017年平均每人每天产生近1千克垃圾，并以每年 新的思考，成为丰富的数学探索活动的起点，给学生 20%的平均速度在增长，那么到了 2018年，上海市 自由思考、充分展现自己思维的空间.

平均每人每天生产近________千克生活垃圾.

(二）创设生活情境问题，激发学习兴趣

分析：本题考查学生对1 X (1 + 20%)和1 + 1 在问题解决的过程中，首先问题应该是有趣的， X20%这两个数学式子的解释，解释增长率与增长 表述是简单易懂、容易接近的，即问题解决的人口不 量之间的区别，达到引导学生关注知识的发生过程， 需要过多的背景资料、特殊的知识与方法.其次，问 而不是简单的公式记忆的目的.

题本身是富有趣味性的，在解决的过程中，是不断接 关于“你每天会产生多少垃圾”这个问题的提 近学生最近发展区的，同时兼具实际意义，使学生能 出，则是顺其自然地对垃圾问题的解决提出了一系 逐步认识数学的价值和数学的美，激发学生学习数 列方案.从情境出发，后文两道题是对垃圾处理方式 学的兴趣，体验生活处处有数学.

的呈现；从数学出发，第一题是从含一次的代数式过

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(1)_____若a = 55%，那么降解两年后的烟蒂重量为 渡到一元二次方程.第二题则是从相等的增长率过 渡到不相等的增长率，在情境中体会真实问题的 解决•

2.上海市在2000年就成为国内首批生活垃圾 分类收集试点城市，开展了许多垃圾分类的探索性 工作.根据最新的《上海市生活垃圾全程分类体系建 设行动》，上海市生活垃圾综合处理能力从2018年 底的2. 5万吨/日，提高到2020年底的3.025万吨/ 日，若每年的平均增长率相同，求这个平均增长率.

分析：本题是关于增长率的应用题.根据题意可 列出一元二次方程，指导学生理解2. 5,2. 5(l+.r) 以及2. 5(l+.r)2这些代数式的含义，并指导学生利 用开平方法解方程并归纳解决应用题的一般步骤.

练

习“再生能源中心”为实现零填埋，2018

年干垃圾末端处置达到2. 14万吨/日，如果2019年 的下降率为2020年的下降率比2019年又降低 3%,且干垃圾末端处置为1. 81万吨/日，根据题意, 可列出方程为（

）

A. 2. 14(1-w)2 = 1. 81

B. 2. 14(1 — w)(l —w + 0. 03) = 1. 81C. 2. 14(l-w)(l-w-0. 03) = 1. 81D. 2. 14(1 — w)(l — m — 3) = 1. 81

分析：通过对两次不同下降率的练习，学生再次 巩固对应用题中下降率的理解.

(二）深化问题，提供合适的数学模型

数学源于生活又高于生活，教师在本题的设计 中将垃圾分类的问题聚焦在“一根烟蒂”以及“易拉 罐的后续处理”上.

问题二：人类产生的垃圾的寿命究竟有多长？一个烟蒂的重量为5克，原来需要用十年时间 将烟蒂降解到0.001克以内（称烟蒂完全降解）.由 于降解技术水平的提高.降解一个烟蒂的时间缩短

为五年，如图1所示，前两年的平均降解率为a.后 三年的平均降解率为6.

一根烟蒂的降解

6

()bo_w锥s 赛

0

原始第一年第二年第三-----年第四---------年第五年

图1

克；（保留1位小数）

(2) 若要让烟蒂完全降解，那么第三、第四、第五年的降解率6至少为_________.

分析：本题旨在指导学生通过阅读题目及图表, 从中获取信息，进而解决有关的数学问题.小题（1) 从已知降解率到求烟蒂重量，小题（2)从已知降解前 后的烟蒂重量到求降解率.题目对学生阅读文字素 材和图表的能力要求较高.同时，培养学生用数学的 眼光认识世界的能力，从“教材是学生认识世界的载 体”延伸为“世界是学生认知的教材”以及“生活才是 教材的本源

问题三：垃圾去哪儿了？

某垃圾场回收易拉罐，运送到铝制品加工厂，溶 化后装在一个长方体容器中铸成长方体铝块.要切 割成96个一样大小的小正方体铝块，若不计损耗， 则该铝块恰好用完.没有剩余.

铝制品加工厂有两个不同的长方体容器.容器一：长128厘米，宽128厘米.高24厘米的 长方体容器；

容器二：长128厘米，宽64厘米，高48厘米的 长方体容器；

若不计损耗，小正方体的棱长为多少？你会选 择哪一个容器？

分析：本题是等积变形的问题.将教材例题改编 为容器方案的选择，提出方程根检验的必要性与重 要性.

问题四：其他国家是怎么做的？

在德国某超市门口有一台24小时回收器，可用 积攒的瓶子兑换现金.购买一瓶〇. 5欧元的矿泉水 时，往往还需要支付〇. 25欧元的塑料瓶押金，购买 一罐1.2欧元的可乐，还需要支付0. 5欧元的易拉 罐押金，Lisa共有10欧元，其中押金一次性需要支 付3欧元，Lisa买了多少瓶矿泉水，多少罐可乐？

分析：建立二元一次方程组解决实际问题，通过 题目感悟其他国家在垃圾分类上的先进理念，也为 后续作业提供思路与思考.

学生经历对四个有关垃圾分类问题的探究，梳 理知识内容.形成知识网络框架，同时，如图2所示， 建构起了应用题单元的框架图.

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本堂课建立了应用题的一般解题步骤，通过课 内问题解决强化学生思考路径.在第一课时中，搭建 本单元应用题学习框架，而在后续的课时中，在审题 环节还会出现“工作总量、时间、效率”、“路程、速度、 时间”、“图形面积”等类型，设元的技巧也会在后几 节课中体现.本节课解决了关于整式方程（组）的应 用题，之后还会有分式方程、无理方程、分式方程组 等应用题；在检验的过程中，本堂课关注实际问题的 检验，而在后面的课时中还要加入检验增根等问题. 基于单元视角，为学生搭建脚手架，提供思考路径， 将知识结构化、系统化，具体流程如图3所示.

(三）提出问题，多路径解决

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如图4所示.本堂课由教师引领学生提出有 关垃圾分类的四个问题并共同解决，在本课结尾 再将四个问题分别进行深化，多维度地启发学生 思考，之后通过阅读材料进一步丰富学生关于垃 圾分类的知识，最后用进才中学全国建模大赛一 等奖的案例鼓励学生自主提出问题.并尝试建立 模型，进行方案设计，启发学生“用数学的眼光观 察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思 考世界”，将数学建模思想、数学学科的育人价值 渗透在应用题教学中.三、适时体现学科育人价值

数学在人类文明发展中发挥了重要作用，尤其是 它的育人价值.在人类的发展中，科学精神和理性思 维是必备的素养.数学能提升人的理性思维水平，发 展科学精神，形成严谨求实的态度，这就是数学素养， 数学素养可以通过数学教育实现.在本堂课的教学 中，笔者将数学学科的育人价值融人了数学问题中.

(一）设置真实问题情境，提高学生的垃圾分类意识

垃圾分类是全民都在参与的民生大事，而在数 学课堂中，通过数学的眼光、数学的语言、数学的思 维.将垃圾分类这一看似与数学无关的真实情境，以 应用题的形式融人.整堂课四个问题中所有的数据 都来源于官方数据，而教师对数据的挖掘、分析、重 组形成了四个有关垃圾分类的数学问题.以问题解 决的形式让学生初步感知垃圾的产生、垃圾的处理、 垃圾的降解、垃圾的回收等过程.学生还可以对自己 每天产生的垃圾数量进行估计；数学教材、试卷上常 见的“增长率、下降率、折旧率”等用词，可变为学生

图3

不常见的降解率，迎合垃圾分类时代的需求，学生对

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的检验也十分重要，不仅要检验建立的模型是否 存在.同时也要能解释其合理性，培养自身严谨的 学习态度和科学精神.

(三）适时关注问题形成过程，促进核心素养发展

本堂课的四个问题都是教师精心设计的，学生 经历了从真实情境中发现数学问题，并用数学模型 解释问题的整个过程，学生感悟到数学源于生活.以 全国数学建模大赛一等奖进才中学的例子作为本堂 课的结束，研究外卖垃圾对环境的长期影响，从数据 采集、数据分析、建立模型、检验模型等过程.让学生 感悟、发现垃圾分类中的数学问题.通过用数学的语 言表述问题，鼓励学生尝试建立恰当的数学模型，真 正地将数学核心素养中的数学建模思想融入到学生 的脑海里.这种方式改变了传统数学课程从概念到 概念、从概念到定理的单一内容呈现模式，数学建模 回归到知识的形成过程，建立了数学与实际的联系， 不仅有助于学生对数学形成正确、完整的认识，更有 助于促进学生运用知识解决问题的能力，这些都对 促进学生的终身发展至关重要.

于垃圾降解中的降解率也可以有更深刻的领悟，“垃 圾综合处理能力”、“干垃圾末端处置”、“垃圾的寿 命”等新鲜词汇也呈现在数学课堂中；而在阅读材料 中，介绍瑞典、日本的做法，既丰富了学生的知识面， 又让垃圾分类真正走进了数学课堂，用数学的视角 看待垃圾分类，数学课堂也不再是脱离生活的数学 应用题了.

(二）提供合适的数学问题模型，形成严谨求实 的态度

在课堂教学中，教师预设了三个解决问题的 模型，其一有关增长率、降解率，其二有关等积转 化，其三有关总价、单价、数量.其中第一个和第三 个都是学生较为熟悉的模型，但也正是因为熟悉， 学生常常会陷人公式化、套路化的模式中，习惯性 套公式，缺乏对模型的本质理解，所以教师在设计 问题中，更应关注学生对其本质含义的掌握，通过 将以往相等的下降率变为不相等的下降率，以及 代数式到方程、方程又到代数式的不停转化，培养 学生严谨求实的态度.关于问题三中易拉罐熔化 后模具的选择，也符合实际生活中工程设计的要 求，而学生在解决这类实际问题的过程中，对结果

(上接第9页）

数学味.因此，教师留了一道课后思考题，构建“上凸 型”的函数模型，使其仍能经过点（500,5)，保证最努 力的员工获得最大的收益，让有兴趣的学生课后继 续探究.本节课的课堂总结围绕数学建模的过程与 方法，突出单元中的核心概念与思想方法，简洁明 了.本节课结束时，教师在学生的课堂反思中发现， 大多数学生认为自己掌握了数学建模的方法，其中 有感悟到数学应用价值的学生，有在小组其他成员 帮助下成功完成建模任务的学生，组长也在帮助组

员的过程中感受到乐趣，还有学生提出建模过程中 参数取值范围的困惑，这些都是变革学习方式给学 生带来的收获，体现了数学建模活动的意义.参考文献

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017

年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）

解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

•必本速遂•

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《学习的升级》由约翰•库奇、贾森•汤以及栗浩洋著，徐烨华翻译，2019年5月由浙江人民出版社出 版。在此书中，苹果公司教育副总裁约翰•库奇分享了自己五十多年的“教育+技术”的跨界研究经验，全面 论述了为什么要对传统的学习动机、学习模式、学习场景进行升级，阐述了如何将科技成果以及新的教学理 念与实践应用到学习的升级中。此书还详细介绍了如何把被动教育升级为主动学习、如何从一对多的教师 课堂讲授升级为实践学习、如何从“项目制学习”升级为“挑战式学习”。