甘肃省学业水平测试题

D. 243 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合A1,2, B1,0,1, 则AB等于（ ）

A .1 B. 1,0,2 C. 1,0,1,2 D. 

2. cos120的值是（ ） A . 32 B. 12 C. 12 D. 32 3. 不等式x22x30的解集是（ ） A . 3,1 B. 1,3 C. ,13, D. ,31,

4. 已知直线l1:2xy20,l2:ax4y10, 若l1//l2, 则a的值为（ ）

A . 8 B. 2 C. 12 D. 2

5. 函数ysin2x是（ ）

A . 最小正周期为2的偶函数 B. 最小正周期为2的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数 6. 在等比数列an中, 若a3a69,a2a4a527, 则a2的值为（ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

y1,7. 如果实数x、y满足条件2xy10, 则2xy的最大值为（ ）

xy10. A . 1 B.

54 4 3 C. 2 D. 3

38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图

4 正视图 侧视图

是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为（ ） 4 A . 43 B. 83

俯视图

图1

9. 已知向量a1,n, bn,1, 其中n1, 则下列结论中正确的是 （ ）

A . ab//ab B. ab//b C.  a  b    a  b  D. abb 10. 已知函数fx2xx21, 则对任意实数x1、x2,且0x1x22, 都有（ ） A. x 1 f  x 2   x 2 f  x 1  B. x 1 fx2x2fx1 C. x 1 f  x 1   x 2 f  x 2  D. x1fx1x2fx2二、填空题（每小题4分，共20分）

11. 函数yln2x1的定义域是 .

12. 在空间直角坐标系Oxyz中, 点1,2,3关于原点O的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A、B、C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公

司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，样本中A种型号的轿车 比B种型号的轿车少8辆，那么n . 14. 已知函数ya1x(a0且a1)的图象恒过点A. 若点A在直线 mxny10mn0上, 则

1m2n的最小值为 . 15．已知α，β∈3π4，ππ，sin(α＋β)＝－3

5

，sinβ－4＝1213，则cosα＋π4＝_______. 三、解答题：

16. （6分）编号分别为A1,A2,A3,,A12的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录

如下:

运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 得分 5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18 29 （1）完成如下的频率分布表:

（2）从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.

1

得分区间 频数 频率

0,10 3 1 4 19. （8分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1a310, S424． （1）求数列an的通项公式； （2）令Tn

20. （10分）已知

10,20 20,30 合计 11S1S213，求证：Tn. Sn412 1.00 1． 3c，17．（8分）在△ABC中，角A、已知a3,b2,cosAC所对的边分别为a、b、B、

（1）求sinB的值；（2）求c的值.

1a1, 若函数fxax22x在1,3上的最大值为Ma,最小值318．（8分）如图2，在三棱锥PABC中，AB5,BC4,AC3，点D是线段PB的中点，平面PAC平面ABC． （1）在线段AB上是否存在点E, 使得DE//平面PAC？ 若存在, 指出点E的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：PABC.

2

为Na,令gaMaNa.

（1）求ga的表达式;（2）若关于a的方程gat0有解, 求实数t的取值范围.

P

· CD

附加题（10分）已知圆C的圆心坐标为1,2, 直线l:xy10与圆C相交于M、N两点，MN2. （1）求圆C的方程;（2）若t1, 过点At,0作圆C的切线, 切点为B，记d1AB, 点A到直线l的距离为d2, 求 1 的取值范围.

B图2 Ad1d2高中数学学业水平测试复习题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号 答案

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A 所以PB80.8. 10答: 从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分

16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A，cosA1, 12. 1,2,3 13. 72 14. 322 21， 3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表: 得分区间 频数 频率

∴sinA1cosA 由正弦定理得：

222． ………2分 3ab， ………4分 sinAsinB222342. ………6分 390,10 3 10,20 20,30 合计 5 4 12 1 45 121 31.00 ∴sinBbsinAa（2）解：∵a3,b2,cosA1， 3

b2c2a21. ………8分 ∴

2bc322c2321， ∴

22c3 解得c3. ………12分

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力

和运算求解能力．满分14分．

（1）解：在线段AB上存在点E, 使得DE//平面PAC, 点E是线段AB的中点. …2分 下面证明DE//平面PAC:

取线段AB的中点E, 连接DE， ………3分 ∵点D是线段PB的中点，

∴DE是△PAB的中位线. ………4分 ∴DE//PA. ………6分 ………4分 (2)解: 得分在区间10,20内的运动员的编号为A2,A3,A4,A8,A11.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:A2,A3, A2,A4,A2,A8,A2,A11,A3,A4,A3,A8,A3,A11,

A4,A8,A4,A11,A8,A11,共10种. ………7分

“从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B)的所有可能结果有:A2,A4,A2,A11,A3,A4,A3,A8,A3,A11,A4,A8,

P D C A4,A11,A8,A11,共8种. ………10分

3

B E ∵PA平面PAC，DE平面PAC，

∴DE//平面PAC. ………8分

（2）证明：∵AB5,BC4,AC3,

 ∴ABBCAC.

∴ACBC. ………10分 ∵平面PAC平面ABC，且平面PAC ∵PA平面PAC，

∴PABC. ………14分

18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论

证能力．满分14分．

（1）解：设等差数列an的公差为d, ∵ a1a310, S424,

平面ABCAC，BC平面ABC，

∴BC平面PAC. ………12分

 222 11111112324351111 n1n1nn2 ………10分

11111 22n1n23111 ………12分 42n1n23. ………14分 419．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．

(1)解: 设圆C的半径为r，圆C的圆心1,2到直线l的距离d12111222.

………2分 ∵ MN2,

∴ 2r2d22. ………3分 ∴ 2r22a12d10, ∴ ………2分 434a1d24.2 解得a13, d2. ………4分 ∴ an32n12n1. ………6分

222. ………4分

解得r3. ………5分 ∴ 所求的圆C的方程为x1y23. ………6分 (2) 解:∵圆C：x1y23的圆心C1,2,半径r ∴d1AB2222na1ann32n1nn2， ………8分 （2）证明：由（1）得Sn22 ∴ Tn3，

ACr2211S1S21 Sn1 nn24

t102t0111222232t121. ………8分 又点At,0到直线l的距离d2111 132435

t12. ………9分

d11 ∴d2t1211t122t1211t1. ………10分

16. ………3分 a1111② 当23,即a时, 则x1时, 函数fx取得最大值; x时, 函数

a32a∴ gaMaNa9a 令t121m，则t1m21， ………11分

fx取得最小值.

∴Maf1a2，Naf ∵t1，∴m1. 11.  ∴

d11m11d22m212mm1212m1. ………12分 ∵m1, ∴m12.

∴02m11. ∴012m11. ………13分

∴0212m12. ∴d11d的取值范围是0,2. ………14分

220．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论

的数学思想方法．满分14分． (1) 解: fxax2xa122xa1a. ………1分 ∵

13a1, ∴11a3.

① 当11a2,即12a1时, 则x3时, 函数fx取得最大值; x1a时, 函数

fx取得最小值.

∴Maf39a6，Naf11aa.

5

aa∴ gaMaNaa1a2. a111 综上，得gaa2,3a2, 9a11a6,2a1.2）解：任取a111,a23,2，且a1a2，

ga1ga2a11a2a122 1a2a1a2a1a21a. 1a2∵a111,a23,2，且a1a2， ∴a1a20,a1a20,a1a210. ∴

a1a2a1a21a0,即ga1ga20.

1a2∴ga1ga2.

∴函数ga在1,132上单调递减. ………5分 ………6分

………7分

………8分 （ 任取a3,a4,1，且a3a4，

2 ga3ga49a311169a46 a3a4. ………9分

a3a49a3a41a3a4 ∵a13,a42,1，且a3a4，

∴a3a40,a3a40,9a3a410. ∴

a3a49a3a41a0,即ga3ga40.

3a4 ∴ga3ga4.

∴函数ga在1,12上单调递增. 当a12时,ga取得最小值,其值为g1122, 又g1433, g14. ∴函数ga的值域为12,4



. ∵关于a的方程gat0有解等价于tga有解， ∴实数t的取值范围为函数ga的值域． ∴实数t的取值范围为1,42



.

………10分

………11分 12分

………13分 14分

6

………

………