MINITAB统计基础

1. 正态总体的抽样分布

1) 样本均值 的分布——标准正态分布及T分布

样本标准差计算公式：

 T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且

它们相互，那么随机量

所服从的分布称为 个自由度的t分布。其分布密度函数为：

当 时的极限分布即是标准正态分布， 当 时就是Cauchy分布。

T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0， （ 时期望不存在， 方差不存在）。我们常常用 表示 υ 个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。 自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由取值的数据或变量的个数。 范例：

 Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。

计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定 概率密度函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x f( x ) 1.98 0.0561831

 ， ，求 。

计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定 累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x P( X <= x ) 2.4 0.991802

 Z~N(0，1)，求使得P(Z计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定 逆累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 P( X <= x ) x 0.95 1.485  自由度=12，求使得 成立的 值。

计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定 逆累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度 P( X <= x ) x 0.95 1.7822

 自由度=12，求使得 。

计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定 累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度 x P( X <= x ) 3 0.994467

2) 双样本均值差的分布

3) 正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布

若X1，X2，……,Xn是从正态总体 ， 中抽出的一组样本量为n的随机样本，记

则当 已知时：

当未知时，用 替 后可以得到

其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

 卡方分布的定义：把n个相互的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。它的密

度表达式为：

参数 称为自由度。

卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（ 越小，分布越偏斜）。我们常用 表达自由度为 的卡方分布。

卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否等。  卡方分布的性质

a) 卡方分布的加法性：设X和Y彼此，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，

则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。 b) 若 X～ ，则 ， 。 计算下列各卡方分布的相关数值：

 自由度=10，求使得 成立的 x 值。

计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 逆累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数=0.95 -----> 确定 逆累积分布函数 卡方分布，10 自由度 P( X <= x ) x 0.95 18.307

 自由度=10，求 。

计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定 累积分布函数

卡方分布，10 自由度 x P( X <= x ) 28 0.998195

4) 两个的正态样本方差之比的分布——F分布

两个的正态样本方差之比的分布是F分布。

设有两个的正态总体 ( ， ) 和 ( ， ) ，它们的方差相等。又设X1，X2，…，Xn是来自 ( ， )的一个样本Y1，Y2，…，Yn是来自 ( ， ) 的一个样本，这两样相互。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：

n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果 ～ ， ～ ，且二者相互，则称二者比值的分布为F分布，即 其密度函数是：

F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。  计算F0.95（8，,18）的数值。

计算 -----> 概率分布 -----> F分布 -----> 逆累积概率 -----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->常数=0.95 ----->确定

逆累积分布函数

F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度 P( X <= x ) x 0.95 2.51016

2. 参数的点估计

1) 点估计的概念

用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。

设?是总体的一个未知参数，X1，X2，…，Xn是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估计

（X1，X2，…Xn）称为?的估计量，或称为?的点估计。 未知参数?的统计量

∧

我们总是在参数上方画一个帽子“”表示该参数的估计量。在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：

 对于总体均值 ， ；  对于总体方差 ， ；

 对于比率p ， ，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数；

（两个随机样本均值之差） 对于 1 - 2 ， ? = ； ? （两个随机样本比率之差） 对于p1 - p2，估计为 ；

2) 点估计的评选标准 3. 参数的区间估计

设?是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X1，X2，…，Xn，对给定的显着性水平α（0﹤α﹤1），有统计量：?L= ?L（X1，X2，…，Xn）与?U= ?U（X1，X2，…，Xn），若对于任意?有P（?L≤?≤?U）= 1 - α，则称随机区间[?L，?U]是?的置信水平为1-α的置信区间，?L与?U分别称为置信下限和置信上限。

置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - α是区间估计的可靠程度，而 α 表达了区间估计的不可靠程度。

在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。这两者要结合在一起考虑，才更为实际。通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。 1) 单正态总体均值的置信区间

当 ， 时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：

a) 当总体方差 已知时，正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中，

α

是标准正态分布的 分位数，也就是双侧 α 分位数。例如α=0.05时， 。

α

在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本Z 来实现的。

由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。 b) 当总体方差 未知时， 用样本标准差S代替，此时正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中，

α

表示自由度为n – 1的 t 分布的 分位数，也就是t分布的双侧 α 分位数。

α

例如α=0.05时，样本量n = 16时， ，其值略大于 。

在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t 来实现的。

 某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据： 1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 1861 1778 1747 1678 17 1799 1697 16 1804 1852 1707 假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用均值的95%置信区间。

统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t -----> 样本所在列 = 运输费用 -----> 选项 -----> 置信水平 = 95 -----> 确定。

单样本 T: 运输费用

均值标

变量 N 均值 标准差 准误 95% 置信区间 运输费用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)

c) 前两种情况讨论的是当总体为正态分布时， 的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量

仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均n 超过30，则可根据中心极限定理知道：

值 的区间估计方法，而且可以直接用样本标准差代替总体标准差，即采用公式：

在MINITAB中，通常直接采用：统计 -----> 基本统计量 -----> 图形化汇总 中得到总体均值的置信区间结果。只不过要注意的是：总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。

2) 单正态总体方差和标准差的置信区间

当 ， 时，正态总体方差的置信区间是： 式中，

α

和 α 分别是 分位数与 分位数。

αα

当 ， 时，正态总体标准差的置信区间是：

 某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据： 1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 1861 1778 1747 1678 17 1799 1697 16 1804 1852 1707 假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用方差和标准差的95%置信区间。

统计 -----> 基本统计量 -----> 单方差 -----> 样本所在列 = 运输费用 -----> 选项 -----> 置信水平 = 95 -----> 确定。

单方差检验和置信区间: 运输费用 方法

卡方方法仅适用于正态分布。

Bonett 方法适用于任何连续分布。 统计量

变量 N 标准差 方差 运输费用 20 61.9 3830 95% 置信区间

标准差置信 方差置信区 变量 方法 区间 间

运输费用 卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170) Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)

求总体标准差置信区间另一种方法：统计----->基本统计量----->图形化汇总----->变量：运输费用----->置信水平：95 ----->确定

3) 单总体比率的置信区间

当 ， 时，也就是X取“非0则1”的0-1分布，我们常需要估计总体中感觉的那类比率的置信区间，比如，一批产品中，不合格品率的大致范围；顾客满意度调查中，有抱怨顾客的比率范围等。

这里我们记总体比率为p，样本比率为 。可以证明，当样本量足够大时（要求np>5及np（1-p）>5），且p值适中（0.1。因此，由 服从

的正态分布构造总体比率p的置信区间为：

 一电视台为了调查新节目收视率，在节目放映时间内进行了电话调查。在接受调查的2000名被调查

者中有1230名正在收看本节目。求此节目收视率的95%置信区间。

统计----->基本统计量----->单比率----->汇总数据：事件数=1230，实验数=2000----->选项----->置信水平：95 ；勾选使用正态分布的检验和区间----->确定

由于np>5及np（1-p）>5，可用于正态分布近似二项分布，故可以勾选使用基于正态分布的检验和区间。

单比率检验和置信区间

样本 X N 样本 p 95% 置信区间 1 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326) 使用正态近似。

4) 双总体均值差的置信区间

设有两个总体 ， ， ， ，从总体X中抽取的样本X1，X2，…，Xn，样本均值为 ，

，样本方样本方差为 ，样本标准差为 ，从总体Y中抽取的样本Y1，Y2，…，Yn，样本均值为

差为 ，样本标准差为 。

对两总体均值差异 的区间估计常有以下三种情况：

a) 两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 ， 都已知时，两总体均值差异 的1-α 置信水平下的置信区间为：

只要样本量足够大，无论两总体的方差是否相等，上式都成立。

b) 两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 均未知时，两总体均值差异 的1-α 置信水平下的置信区间为： 式中，

 一家冶金公司需要减少其排放到废水中的生物氧需求量含量。用于废水处理的活化泥供应商建议，用

纯氧取代空气吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此数值越小越好）。从两种处理的废水中分别抽取10个和9个样品，数据如下： 184 194 158 218 186 218 165 172 191 179 空气 氧气 163 185 178 183 171 140 155 179 175 已知生物氧需求量含量服从正态分布，试确定：该公司采用空气和采用纯氧减少生物氧需求量含量均值之差的95%置信区间。

求两总体 的置信区间：统计----->基本统计量----->双样本t----->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气----->勾选假定等方差----->选项：置信水平=95，备择=不等于----->确定。 双样本 T 检验和置信区间: 空气, 氧气 空气 与 氧气 的双样本 T

均值标 N 均值 标准差 准误 空气 10 186.5 20.0 6.3 氧气 9 169.9 14.7 4.9 差值 = mu (空气) - mu (氧气) 差值估计值: 16.61

差值的 95% 置信区间: (-0.58, 33.80)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17 两者都使用合并标准差 = 17.7356

c) 当两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 均未知时，两总体均值差异 的

1-α 置信水平下的置信区间为： 式中，自由度υ的计算公式为：

 假定A，B两名工人生产相同规格的轴棒，关键尺寸是轴棒的直径。由于A使用的是老式车床，B使

用的是新式车床，二者精度可能有差异。经检验，他们的直径数据确实来自两个方差不等的正态分布。现他们各测定13根轴棒直径，数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14.76 14.21 14.02 15.08 10.65 12.18 16.67 18.20 12.24 11.21 16.67 13.45 16.85 B 12.37 10.28 13.18 13.26 13.80 10.96 10.57 12.83 11.67 13. 12.42 13.24 12.52 试确定A，B生产的轴棒直径差异的95%置信区间。

求两总体 的置信区间：统计----->基本统计量----->双样本t----->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气----->选项：置信水平=95，备择=不等于----->确定。 双样本 T 检验和置信区间: A工人, B工人 A工人 与 B工人 的双样本 T

均值标 N 均值 标准差 准误 A工人 13 14.32 2.35 0.65 B工人 13 12.36 1.15 0.32 差值 = mu (A工人) - mu (B工人) 差值估计值: 1.965

差值的 95% 置信区间: (0.435, 3.496)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17

 随机样本取自均值 ， 未知，标准差未知的两个正态分布总体，若第一个总体样本标准差

S1=0.73,样本量n=25， ，第二个总体样本标准差S2=0.,样本量n=20， 。求 的95%置信区间。

统计----->基本统计量----->双样本t----->汇总数据：第一（样本数量=25，均差=6.9，标准差=0.73），第二（样本数量=20，均差=6.7，标准差=0.）----->选项：置信水平=95 ----->确定。 双样本 T 检验和置信区间

均值标 样本 N 均值 标准差 准误 1 25 6.900 0.730 0.15 2 20 6.700 0.0 0.20 差值 = mu (1) - mu (2) 差值估计值: 0.200

差值的 95% 置信区间: (-0.301, 0.701)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 0.81 P 值 = 0.423 自由度 = 36

5) 双总体比率差的置信区间

设两个总体的比率分别为p1和p2，为了估计p1 - p2 ，分别从两个总体中各随机抽取样本量为n1和n2的两

个随机样本，并计算两个样本的比率 和 ，可以证明p1 - p2的置信水平为1 –α的置信区间为：  为了解员工对工资的满意度，对250名男员工、200名女员工进行调查，数据如下： 区分 男 女 合计 样本数 250 200 450 满意 110 104 214 求男女员工对工资满意度差异的95%置信区间。

统计----->基本统计量----->双比率----->汇总数据：第一（事件=110，实验=250），第二（事件=104，实验=200）----->选项：置信水平=95 ----->勾选使用P的合并估计值进行检验 ----->确定。 双比率检验和置信区间 样本 X N 样本 p 1 110 250 0.440000 2 104 200 0.520000 差值 = p (1) - p (2) 差值估计值: -0.08

差值的 95% 置信区间: (-0.172630, 0.0126298)

差值 = 0(与 ≠ 0) 的检验: Z = -1.69 P 值 = 0.091 Fisher 精确检验: P 值 = 0.106