不定方程试题及答案

例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x+10y+6z=61。 解：注意到z的系数最小，把原方程化为

z=1(15x10y61)2x2y101(3x2y1)

66令t1=1(3x2y1)z，即-3x+2y-6t1+1=0

6此时y系数最小，y1(3x6t11)x3t11(x1)

22令t2 =1(x21)z,即x2t21,反推依次可解得

y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2 z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2

x12t2∴原不定方程解为y13t13t2t1t2∈z.

z65t10t12 例2:证明证：假设

22是无理数

是有理数，则存在自数数a,b使得满足x222a1,又得到

2y2即a22b2，容易知道

a是偶数，设a=2a1，代入得b222a12b1,这里b2a1

b为偶数，a1ba，设b2b1，则

这样可以进一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N=3m±1(m为整数) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1

即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k+1,或者说3k+2不可能是平方数，设x,y为勾股整数，且x,y都不是3的倍数，则x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x2+y2=328的正整数解

解：∵ 328为偶数，∴x,y奇偶性相同，即x±y为偶数，设x+y=2u, x-y=2v，代

2为无理数。

入原方程即为

u2+v2=1,同理令u+v=2u1,u-v=2v1有

22u1v182,u1v12u2,u1v12v2 022u2v241,u2,v2为一偶一奇，且

u2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4） ∴原方程解x=18,y=2,或x=2,y=18。

例5：求x2+xy-6=0的正整数解。 解：原方程等价于x(x+y)=2·3,故有 ∴

x2, xy3,

x3, xy2,

x1, xy6,

x6, xy1. ， ∴ 即有x=2,y=1;

x=1,y=5.

例6：证明不定方程x2-2xy2+5z+3=0无整数解。 解：若不定方程有解，则xy2y45z3

但y4≡0，1(mod5), ∴ 对y,z ，y4-5z-3≡2，3(mod5) 而一个平方数≡0，1，4（mod 5） ∴ y4-5z-3不可能为完全平方，即解。

例7：证明：x2y2z28a7无整数解

证：若原方程有解，则有x2y2z28a7(mod8)

注意到对于模8，有

y45z3不是整数，所以原不定方程无

020,121,224,321,420,521,624,721, 因而每一个整数对于模8，必同余于0，1，4这三个数。 不论x2,y2,z2如何变化，只能有x2y2z20,1,2,3,4,5,6(mod8)

而8a77(mod8)，故8a7不同余于x2y2z2关于模8，所以假设错误，

即8a7x2y2z2，从而证明了原方程无解。

例8:某人到银行去兑换一张d元和c分的支票，出纳员出错，给了他c元和d元，此人直到用去23分后才发觉其错误，此时他发现还有2d元和2c分，问该支票原为多少钱？

解：由题意立式得：100cd231002d2c

即98c199d23.

令uc2d得98u3d23, 令v33ud得3vu23.

所以u3v23(v为任意整数），代入得：

d33uv98v3323,（1） cu2d199v6723,

其中v是任意整数。又根据题意要求：d0,0c100. 根据(1)，仅当v=8时满足此要求，从而d25,c51. 因此该支票原为25元51分.