乘法公式(提高)知识讲解

乘法公式（提高）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：(ab)(ab)ab

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如(ab)(ba)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x5y)(3x5y) （3）指数变化：如(mn)(mn) （4）符号变化：如(ab)(ab) （5）增项变化：如(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如(ab)(ab)(ab)(ab) 要点二、完全平方公式

完全平方公式：aba2abb

2222244323222(ab)2a22abb2

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2b2ab2abab2ab

22ab2ab4ab

2要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

添括号是否正确. 要点四、补充公式

(xp)(xq)x2(pq)xpq；(ab)(a2332232abb2)a3b3；

222 (ab)a3ab3abb；(abc)abc2ab2ac2bc. 【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

1、计算(2＋1)(221)( 241)(281)(2161)(2321)＋1．

【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221与221，241与241等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】

解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221)(241)(281)(2161)(2321) ＋1 ＝(221)( 221)( 241)(281)(2161)(2321)＋1 ＝2－1＋1＝2．

【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算：

(1)(x3)(x9)(x3)

(2)(a＋b)( a－b)( ab)( ab) 【答案】

解：(1)原式＝[(x＋3)(x－3)](x9)＝(x9)(x9)＝x81． (2)原式＝[(a＋b)( a－b)]( ab)( ab) ＝[(ab)( ab)]( ab)

＝(ab)( ab)＝ab．

【变式2】（2015•内江）（1）填空： （a﹣b）（a+b）= ；

（a﹣b）（a+ab+b）= ；

3223

（a﹣b）（a+ab+ab+b）= ． （2）猜想：

2

2

2224422242244222244444488

（a﹣b）（a+ab+…+ab+b）= （其中n为正整数，且n≥2）．

98732

（3）利用（2）猜想的结论计算：2﹣2+2﹣…+2﹣2+2． 【答案】

解：（1）（a﹣b）（a+b）=a﹣b；

2232222333

（a﹣b）（a+ab+b）=a+ab+ab﹣ab﹣ab﹣b=a﹣b；

3223432233223444

（a﹣b）（a+ab+ab+b）=a+ab+ab+ab﹣ab﹣ab﹣ab﹣b=a﹣b；

223344

故答案为：a﹣b，a﹣b，a﹣b； （2）由（1）的规律可得：

原式=a﹣b，

nn

故答案为：a﹣b；

（3）2﹣2+2﹣…+2﹣2+2=（2﹣1）（2+2+2+2+2）=342．

2、（2014春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析】

解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，

根据题意得，（x+3）﹣x=63， 由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63， 解得，x=9；

∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；

答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．

【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a﹣b，熟练应用平方差公式可简化计算．

举一反三：

【变式】解不等式组：【答案】 解： 2

2

2

2

9

8

7

3

2

8

6

4

2

n

n

2

2

n﹣1n﹣2n﹣2n﹣1

(x3)(x3)x(x2)1,

(2x5)(2x5)4x(1x).(x3)(x3)x(x2)1,①(2x5)(2x5)4x(1x).②22

由①得x9x2x1，2x10，x5．

22由②得5(2x)4x4x，254x4x4x，

2224x25，x6.25．

∴ 不等式组的解集为x6.25．

类型二、完全平方公式的应用

3、运用乘法公式计算：

（1）(a2b3)；（2）(a2b3c)(a2b3c)．

2

【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将（2）是两个三项式相a2b3化成a(2b3)，看成a与(2b3)和的平方再应用公式；

乘，其中a与a完全相同，2b，3c与2b，3c分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．

【答案与解析】

解：（1）原式[a(2b3)]a2a(2b3)(2b3)

222a24ab6a4b212b9 a24b24ab6a12b9．

（2）原式[a(2b3c)][a(2b3c)]a(2b3c)a4b12bc9c． 【总结升华】配成公式中的“a”“b”的形式再进行计算. 举一反三：

【变式】运用乘法公式计算：

(1)abcabc； (2)2xy1y12x； (3)xyz； (4)2a3b112a3b． 【答案】

解：(1) abcabc＝[a－(b－c)][ a＋(b－c)]

＝abcab2bcc22222222222

＝ab2bcc．

(2) 2xy1y12x ＝[2x＋(y－1)][2x－(y－1)]

＝2xy14xy2y1

2222222＝4xy2y1．

(3)xyzxyzxy2xyzz

222222＝x2xyy2xz2yzz．

(4) 2a3b112a3b＝2a3b1

22221] ＝－[(2a＋3b)－2(2a＋3b)＋22

＝－(2a)22a3b3b4a6b1

22＝－4a－12ab－9b＋4a＋6b－1

4、已知△ABC的三边长a、b、c满足abcabbcac0，试判断△ABC

的形状．

【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】

解：∵ abcabbcac0，

∴ 2a2b2c2ab2bc2ac0，

即(a2abb)(b2bcc)(a2acc)0． 即(ab)(bc)(ac)0． ∴ ab0，bc0，ac0，

即abc，∴ △ABC为等边三角形．

【总结升华】式子a2b2c2abbcac0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：

【变式】多项式x2xy2y2y5的最小值是____________. 【答案】4；

提示：x2xy2y2y5xyy14，所以最小值为4.

22222222222222222222222222