北师大版初中数学知识点归纳(7～9年级)

北师大版七年级上册数学各章节知识点总结

第一章 丰富的图形世界

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形

圆柱

柱 生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、„„

(按名称分) 锥 圆锥

棱锥

4、棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 5、正方体的平面展开图：11种

6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章 有理数及其运算

1、有理数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 或 整数 有理数 分数

1

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2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的运算 ：

（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律

加法交换律 abba

加法结合律 (ab)c乘法交换律 aba(bc)

ba

乘法结合律 (ab)ca(bc) abac

第三章

字母表示数

乘法对加法的分配律 a(bc)1、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 5、整式的运算：

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

第四章 平面图形及其位置关系

1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 4、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 2

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5、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 6、直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质

（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点：

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 9、角：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。 或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11、角的表示

角的表示方法有以下四种：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 12、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 13、角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 3

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14、角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 15、平行线：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。 注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 16、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 17、垂直：

两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 18、垂线的性质：

性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

19、点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。 20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。

第五章 一元一次方程

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质

（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为1

第六章 生活中的数据

1、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成a10的形式，其中14

na10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

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2、扇形统计图及其画法：

扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 画法：

（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比）。 （2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。 （3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3、各种统计图的优缺点

条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。 折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

第七章 可能性

1、确定事件和不确定事件 (1 )、确定事件

必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。 不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 (2)、不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 (3)、

必然事件

确定事件

事件 不可能事件 不确定事件

2、不确定事件发生的可能性

一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。 必然事件发生的可能性是1 不可能事件发生的可能性是0

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第一章 整式运算

知识点（一）概念应用

1、单项式和多项式统称为整式。

单项式有三种：单独的字母（a,-w等）；单独的数字（125， ，3.25，-14562等）； a， 等）数字与字母乘积的一般形式（-2s, 。

235x372、 单项式的系数是指数字部分，如23abc的系数是23 (注意系数部分应包含，因为 ；单项式的次数是常数）是它所有字母的指数和（记住不包括数字和的指数），如 562x3y5次数是8。 3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 5

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4、多项式的特殊形式：

xy2y1是3次3项式。 5、 一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如 6、单独的一个非零数的次数是0。 知识点（二）公式应用 1 、am132anamn (m,n都是正整数）如b3b2b5。

mn拓展运用a2 、(aaman 如已知am=2, an=8,求amn。 解：amnaman=2×8=16.

)amn (m,n都是正整数） 如2(a2)6(a3)42a26a34a12 mn拓展应用a(am)n(an)m。 若an2，则a2n(an)2224。

nnnnnn3、(ab)ab(n是正整数) 拓展运用ab(ab)。

mnmn4、aaa(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。

mnaman 如若am9，an3，则amnaman933。 拓展应用a1p0p(a0，是正整数)。 如 (2)3115、a1(a0)；aa28(2)326、平方差公式(ab)(ab)ab a为相同项，b为相反项。

2222如(2mn)(2mn)(2m)n4mn

2222227、完全平方公式(ab)a2abb (ab)a2abb

222222逆用：a2abb(ab),a2abb(ab). y)24x24xyy2 2222228、应用式：ab(ab)2ab ab(ab)2ab

2222 (ab)(ab)4ab (ab)(ab)4ab

如(2x 两位数 10a＋b 三位数 100a＋10b＋c。 9、单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

mn10、、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

11、多项式除以单项式的法则:(abc)mambmcm. 12、常用变形：(x知识点（三）运算：

1、常见误区：（括号内为正确）

； 3)2(3x25)5x236x25（5x2156x210）

23652、2aa2 （a）； 3、aaa（a）；

44455108、bb2b（b）； 5、xxx（2x）；

122244224）6、aa（ ； 7、(3pq)6pq （9pq）； a1、5(x22n2n2n12n+1y）=(y-x), (xy）=-(y-x)

550a3a2 （a3）； 9、aa0 （1），(3.14)0 （1）；

222210、(2ab)(2ab)2ab （(4ab）；

22211、(ab8)(ab8)ab （ab）；

8、a6

12、(4x5y)2 、简便运算： ①公式类0.0420052。 16x225y2 （16x240xy25y2）

2520060.04200525200525(0.0425)200525120052525

0.12510023000.125100(23)1000.1251008100(0.1258)10011001

6

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②平方差公式 12321241221232(1231)(1231)12321232112③完全平方公式999 (10001)2100000020001998001第二章 平行线与相交线

知识点(一)理论

1、 若∠1+∠2=90，则∠1与∠2互余。若∠3+∠4=180，则∠3与∠4互补。 2、 同角的余角相等若∠1+∠2=90，∠2+∠4=90.则∠1=∠4

等角的余角相等若∠1+∠2=90，∠3+∠4=90.∠1=∠3 则 ∠2=∠4 同角的补角相等若∠1+∠2=180，∠2+∠4=180.则∠1=∠4

等角的补角相等若∠1+∠2=180，∠3+∠4=180.∠1=∠3 则 ∠2=∠4 3 、对顶角

（1）、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

（2）、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 （3）、对顶角的性质：对顶角相等。 4、同位角、内错角、同旁内角

（1）、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。形成4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

（2）、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。 （3）、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 (4)、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。 5、平行线的判定方法

（1）、同位角相等，两直线平行。 （2）、内错角相等，两直线平行。 （3）、同旁内角互补，两直线平行。

（4）、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

（简称为：平行于同一直线的两直线平行）

（5）、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行 （简称为：垂直于同一直线的两直线平行） 6、尺规作线段和角

（1）、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 （2）、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。 知识点（二） 1、方位问题

①若从A点看B是北偏东20，则从B看A是南偏西20.（南北相对；东西相对，数值不变）；

②从甲地到乙地，经过两次拐弯若方向不变，则两次拐向相反，角相等；若方向相反，则两次拐向相同，角互补。

2、光反射问题

如图 若光线AO沿OB被镜面反射则 ∠AOC=∠BOD ∠AON=∠BON. 7

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第三章 生活中的数据

一、单位换算

1、长度单位：（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10米。 （2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10米。（3）1微米=10纳米。 （4）1米=10分米=100厘米=10毫米=10微米=10纳米。

2、面积单位：（1）10千米=1米=10分米=10厘米=10毫米=10微米=10纳米。 3、质量单位（1）1吨=10千克=10克。 二、科学计数法

1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，可以表示为a×10的形式，其中1≤〡a〡<10,n为负整数， 2、用科学计数法表示绝对值较大数据时，可以表示为a×10的形式，其中1≤〡a〡<10,n为正整数， 三、近似数与精确数

例如：考范围题目：近似数X=2.8,则X的范围是

近似数X=4.0,则X的范围是

（规律：左边为最后一位数字减5，且有等号，右边为最后一位数字后面多写一个数字5，且没有等号）

四、有效数字

1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所

有的数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数，由a×10（1≤〡a〡<10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。与×10无关。

五、近似数的精确度1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一

位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。 例如：2.10万精确到 位，有效数字 个，分别是

n

n

n

3

6

-6

2

2

2

2

4

2

6

2

12

2

18

2

3

6

9

-9

3

-6

n

2.1104精确到 位，有效数字 个，分别是

六、统计图（表）

1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。 2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。

第四章 概 率

知识点 一、事件:

1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。 4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。 8

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二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。

1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所

有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1； 3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；

4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作05、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率

公式P(A)四、几何概率

1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用

mn直接得出事件A的概率。（2）对于较复杂的 题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。

S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；

（2）然后计算出各部分的面积； （3）最后代入公式求出几何概率。

第五章 三 角 形

知识点一 理论整理。

1、三角形→由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2、判断三条线段能否组成三角形。 ①a+b>c（a b为最短的两条线段） ②a-b3、第三边取值范围：a－b < c 若两边分别为a,b则周长的取值范围是 2a（1）、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180。 n边行内角和公式（n-2）108 （2）、三角形按内角的大小可分为三类：

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

（4）、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 （5）、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 6、三角形的三条重要线段 （1）、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

9

00

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2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心） （2）、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心） 3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

（3）、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，

简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试 7、相关命题：

1、三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。 2、锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60≤X<90 。最大锐角不小于60度。 3、任意一个三角形两角平分线的夹角=90＋第三角的一半。 4、钝角三角形有两条高在外部。

5、全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。 6、面积相等的两个三角形不一定是全等图形。 7、能够完全重合的两个图形是全等图形。 8、三角形具有稳定性。

9、三条边分别对应相等的两个三角形全等。 10、三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 11、两个等边三角形不一定全等。

12、两角及一边对应相等的两个三角形全等。 13、两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。 14、两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 15、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 16、一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。

17、一个锐角和一边（直角边或斜边）对应相等的两个三角形全等。 18、一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。 19、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 8、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 9、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 10、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

11、做三角形（3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边可以转化为已知已知两角及夹边）。 10

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12、利用三角形全等测距离;

13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

第六章 变量之间的关系

一 理论理解

1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。 联系 区别 自变量 因变量 1、两者都是某一过程中的变量；2、两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化。 先发生变化或自主发生变化的量 后发生变化或随自变量变化而变化的量 2、能确定变量之间的关系式：相关公式 ①路程=速度×时间 ②长方形周长=2×（长＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 ④ 本息和=本金＋利率×本金×时间。⑤总价=单价×总量。⑥平均速度=总路程÷总时间 3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.

二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四 、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊

点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点

八、事物变化趋势的描述： 对事物变化趋势的描述一般有两种：

1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；

2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）. 11

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注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.

九、估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种：

1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；

2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.

第七章 生活中的轴对称

1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系。 联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合。 2、成轴对称的两个图形一定全等。 3、全等的两个图形不一定成轴对称。 4、对称轴是直线。

5、角平分线的性质 1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

6、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。 2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 7、轴对称图形有：

等腰三角形（1条或3条）、等腰梯形（1条）、长方形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）、线段（1条）、角（1条）、正五角星。 8、等腰三角形性质：

①两个底角相等。②两个条边相等。③“三线合一”。④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴。 9、①“等角对等边” ∵∠B=∠C ∴AB=AC ②“等边对等角” ∵ AB =AC ∴∠B=∠C 10、角平分线性质：如右图

角平分线上的点到角两边的距离相等。

∵OA平分∠CAD OE⊥AC,OF⊥AD ∴OE=OF 11、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 。 ∵OC垂直平分AB ∴AC=BC 12、轴对称的性质

1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 12

E

C O

A

A F C

B

D

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3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。 13、镜面对称

1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向； 2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；

3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样； 学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法： （1）利用镜子照(注意镜子的位置摆放)；（2）利用轴对称性质； （3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；

（4）可以看像的背面； （5）根据前面的结论在头脑中想象。

北师大版初中数学八年级上册知识点汇总

第一章 勾股定理

222abc※勾股定理：直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即：。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a满足条件a22b2c2，那么这个三角形是直角三角形。

b2c2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；（9，40，41）；（20，21，29）；„„（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

第二章 实数

1．※平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果x2a，那么x是a的平方根，记作：a；其中a叫做a的算术平方根。

（2）性质：①当a≥0时，2②③a＝a；

a2a。

3a≥0；当a＜０时，a无意义；

2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若x（2）性质：①3a，那么x是a的立方根，记作：3a；

a3a；

33②aa； 33③a＝a 

3．※实数的概念及其分类：

（1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

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4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数 范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

第三章 图形的平移与旋转

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移。

平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。

旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同；

旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。

第四章 四平边形性质探索

※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

※菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

※正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：

有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：

14

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※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180° ※多边形的外角和都等于360°

※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。 ※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。

第五章 位置的确定

※平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

※点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，

则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？

根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。 ※图形“纵横向伸缩”的变化规律:

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在横向：①当n>1

时，伸长为原来的n倍；②当0B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在纵向：①当n>1

时， 伸长为原来的n倍；②当0※图形“纵横向位置”的变化规律:

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位置向右（a>0）或向左

(a<0)平移了|a|个单位。

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下

(b<0)平移了|b|个单位。

※图形“倒转与对称”的变化规律:

A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。 B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。

※图形“扩大与缩小”的变化规律:

将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变； ①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n倍； ②当0第六章 一次函数

※一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。 ※ 一次函数图像的性质：

当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

b.0k0b0b0123

b.0k0b0b0123

第七章 二元一次方程组

※含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。

※解二元一次方程组：①代入消元法； ②加减消元法

（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”） ※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：

①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。 15

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※ 处理问题的过程可以进一步概括为：

问题分析求解方程(组)解答抽象检验

第八章 数据的代表

2n的权分加12n※加权平均数：一组数据1的加权平均数。

如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均

数为： 724503881 431※中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

※众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

※众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。

x,x,xw,w,wx1w1x2w2xnwnw1w2wn为，则称为这n个数

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集. 3、求不等式解集的过程叫解不等式.

4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式. 二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

（注：移项要变号，但不等号不变。）

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的基本性质<1>、若a>b, 则ac>bc；

<2>、若a>b, c>0 则ac>bc，若c<0, 则ac不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c

三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为1。 五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。 六、常考题型：

1、求4x-6<7x-12的非负数解.

2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5) < 8a,求a的范围. 3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。

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四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集。 2、在同一数轴表示不等式的解集。3、写出不等式组的解集。

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第二章 分解因式

一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、a22-b2=a+ba-b 3、a22ab+b2ab

二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. 2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解. 3、ma+mb+mc=m（a+b+c）

4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式. 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. 找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式.

四、分解因式的一般步骤为:

（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.

（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、运用公式法。 第三章 分式

注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.

2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.

3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。 （

AB中B≠0时，分式有意义；分式

AB中，当B=0分式无意义；当A=0且B≠0时，分式的值为零。）

常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题。 第四章 相似图形

一、 比例定义：表示两个比相等的式子叫比例. 1、如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么

ac=或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两bd端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.

2、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比

ABm=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项. CDnmAB

=k或AB=k•CD. 3、如果把表示成比值k，则

nCD

ac4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即= ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，

bd（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成简称比例线段.

5、黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

ACBC= ,那么称线段AB被点ABACC黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中AC∶AB≈0.618. 6、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 17

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相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 二、比例的基本性质：

acac= 。如果=（b,d都不为0），那么ad=bc. bdbdacabcb=2、合比性质：如果=,那么 。

bdbdacma+b+ma=。 3、等比性质：如果== （b+d++n≠0），那么

bdnb+d+nbacab4、更比性质：若=，那么=。

bdcdacbd5、反比性质：若=，那么=。

bdac1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

三、求两条线段的比时要注意的问题：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 四、相似三角形（多边形）的性质：

1、相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。2、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL 六、相似三角形的判定方法：1.三边对应成比例的两个三角形相似；

2.两角对应相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且夹角相等；

4.定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

七、在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.

1、两个全等三角形一定相似. 2、两个等腰直角三角形一定相似.

3、两个等边三角形一定相似. 4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.

八、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位

似图形。这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 九、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。

2、相似三角形的性质及判定。相似多边形的性质。

第五章 数据的收集与处理

（1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查. （2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。 （3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体

（4）抽样调查：（sampling investigation）：从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查. （5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

（6）当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为准确的调查结

果，

抽样时要注意样本的代表性和广泛性.还要注意关注样本的大小.

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（7）我们称每个对象出现的次数为频数。而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 （8）数据波动的统计量：

极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。 方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数。

标准差：方差的算术平方根。 要求：识记其计算公式。 一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 还要知道平均数，众数，中位数的定义。 刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。 刻画离散程度用：极差，方差，标准差。

常考知识点：1、作频数分布表，作频数分布直方图。 2、利用方差比较数据的稳定性。

3、平均数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法。 4、频率，样本的定义

第六章 证明

一、对事情作出判断的句子，就叫做命题. 即：命题是判断一件事情的句子。

一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.

每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成. 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例。

二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

1、证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.

一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角. 2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角. 三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 四、证明一个命题是真命题的基本步骤是： （1）根据题意，画出图形. （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 在证明时注意：(1)在一般情况下，分析的过程不要求写出来.

(2)证明中的每一步推理都要有根据。如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也

相互平行。

(3)所对的直角边是斜边的一半。斜边上的高是斜边的一半。

常考知识点：1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。

2、两直线平行的性质及判定。

3、命题及其条件和结论，真假命题的定义。

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)

第一章 证明(二)

※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 19

北师大版初中数学知识点归纳

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：a2b2c2（注意区分斜边与直角边）

②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义） ．．．．．．．．．<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>

※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）

A A D O C

B 图1

B 图2

E O F C

※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF)

第二章 一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为axbxc0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元．．

二次方程。 ．．．．※把ax22bxc0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为

2常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为(xm)0的形式>

bb24ac②公式法 x （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

2a③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成(xm)⑥两边开方求其根。

※根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b-4ac<0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程ax20

2222

20的形式；

xbxc0的两根分别为x、x，则有：。 1x21

2

bax1x2ca

北师大版初中数学知识点归纳

※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

①x1

22x2(x1x2)22x1x2

②

11x1x2x1x2x1x22 ③(x1x2) ④|(x1x2)24x1x2

⑤(|x1||x2 （4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

|)2(x1x2)22x1x22|x1x2|

333⑥x1x2(x1x2)3x1x2(x1x2) ⑦其他能用x1x2或x1x2表达的代数式。

2（3）已知方程的两根x、x，可以构造一元二次方程：x(x1x2)xx1x20

x2(x1x2)xx1x201

2

x1x2|(x1x2)24x1x2 的根

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题分析求解方程解答 抽象检验第三章 证明（三）

※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 ．．．．．．．．※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之

间的距离。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ．．

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。

21

北师大版初中数学知识点归纳

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一组邻边相等 菱形 一个内角为直角 （或对角线相等） 正方形

平行四边形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 矩形 一邻边相等 或对角线垂直 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第四章 视图与投影

※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

图3

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。 主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。 ※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。 ※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。 ．．太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 ．．．．

探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。 ．．．．※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。 ．．．．．．※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。 ①点在一个平面上的投影仍是一个点； ②线段在一个面上的投影可分为三种情况： 线段垂直于投影面时，投影为一点； 22

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线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。 ③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况： 平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

※反比例函数的概念：一般地，

y （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） ※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ → 变量y与x成反比例，比例系数为k.

kx第五章 反比例函数

（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。

yk(k0) ←→ ykx1(k0) ←→ xyk(k0) ←x※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即

xyk>。（通常第二种方法更适用）

※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线

频率频数频数数据总数实验次数※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；

②选取的点越多画的图越准确；

③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。

※反比例函数性质：

①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 ※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有 S矩形OAPB|xy||k|SAOB11|xy||k|22

B O P A 图4 P B A O 第六章 频率与概率

※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数； ．．每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即： ．．

在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。 用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率； ※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上 23

北师大版初中数学知识点归纳

200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）

※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总

第一章 直角三角形边的关系

※一. 正切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，．．①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 ※二. 正弦：

tanAA的对边A的邻边即;

sin定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即; A

※三. 余弦：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA※余切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记cotA，※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 ①sinA的对边斜边A的邻边;

斜边即cotA10010x200A的邻边;

A的对边切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角

Acos(90A)；

sinα cosα tanα cotα 0º 0 1 0 — 30 º 45 º 60 º 90 º 1 0 — cosAsin(90A) 90A)； ②tanAcot(cotAtan(90A)

※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

所成的锐角称为仰角 ．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当

1 23 23 32 22 21 1 3 21 23 3 33 0 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 24

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※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：tgα·ctgα=1。

知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2； (2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：

图1

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未

sinAa,cbsinB,cbcosA,cacosB,ctanAa,bbtanB,abcotA;

aacotB;

b11abchc(hc为C边上的高); 22abc(5)直角三角形的内切圆半径r

21 (6)直角三角形的外接圆半径Rc

2(4)面积公式:S◎解直角三角形的几种基本类型列表如下： ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

B i=h:l h C A l 图2

※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即 i．．．．

图3

图4

◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、．．．225°。

htanAl25

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◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；．．．北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

第二章 二次函数

※二次函数的概念：形如

yax2bxc(a、、b、是常数，a0)的函数，叫做yax2(a0)是二次函数的特例，此时常数b=c=0.

x的二次函数。自变量的取值范．．．．

围是全体实数。

※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性： A、当a＞0时;x0时,y随x增大而减小 .x0时,y随x增大而增大 B、当a＜0时;x0时,y随x增大而增大 .x0时,y随x增大而减小⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．

※二次函数yax2c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

bb4acb2※二次函数yaxbxc的图象是以x为对称轴，顶点在（，

2a2a4a2）的抛物线。（开口方向和

大小由a来决定）

※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。 ※二次函数

yax2c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点

位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数

yax2bxc的图象与y＝ax2的图象的关系：yax2bxc的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，

其步骤如下：

b4acb2①将yaxbxc配方成ya(xh)k的形式；（其中h=，k=

2a4a22）；

②把抛物线

yax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；

ya(xh)2向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到ya(xh)2k的图象。

③再把抛物线※二次函数

yax2bxc的性质：

2b24acb2二次函数yaxbxc配方成ya(x则抛物线的 )2a4a26

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①对称轴：x=2b ②顶点坐标：（b，4acb2a2a4a）

③增减性： 若a>0，则当x<bb时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。 ．．．．．．．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。 ．．．．．．．．．．．2a2a若a<0，则当x<4acb24acb2bb④最值：若a>0，则当x=时，y最小；若a<0，则当x=时，y最大

2a2a4a4a※画二次函数

yax2bxc的图象： 我们可以利用它与函数yax2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们

采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

2bb4acb ①先找出顶点（，），画出对称轴x=；

2a2a4a

b②找出图象上关于直线x= 对称的四个点（如与坐标的交点等）； 2a③把上述五点连成光滑的曲线。

¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。 ¤解决最大（小）值问题的基本思路是：

①理解问题；

②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系； ④做数学求解；

⑤检验结果的合理性、拓展性等。 ※二次函数

2x2是对应一元二次方程axbxc0的yax2bxc的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，

两个实数根

※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

b24ac>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点； b24ac=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

2 b4ac<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

2※当b4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

|AB||x1x2|(x2x1)2(x1x2)24x1x2

b24ac2化简后即为：|AB|(b4ac0) ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之间的

|a|距离公式。

第三章 圆

一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义：

描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；．

固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” ．．．．

27

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集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，．．．．．．

半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。 ．．

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d d>r. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性:

※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ．

直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．．②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“．．．“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．．③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．．④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．

※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 ※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各

组量都分别相等.

三. 圆周角和圆心角的关系:

※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,

每一份同样的弧叫1°弧.

※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的. ※3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. ※4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 28

”，读作

北师大版初中数学知识点归纳

※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； ※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； ※四. 确定圆的条件:

※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:

圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. ※2. 经过三点作圆要分两种情况:

(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.

(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. ※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接

三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系

※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. ※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.

③d>r <===> 直线L和⊙O相离. ※3. 切线的总判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※4. 切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径.

※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※6. 三角形内心的性质:

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 29

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六. 圆和圆的位置关系.

※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.

(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.

(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟

一的公共点叫做切点.

(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.

(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一

的公共点叫做切点.

(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. ※2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r

(3)两圆相交 <===> R-r d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> dr) ※3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积

※1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆的半径)

※2. 弧长公式: 弧长 l  (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 扇形定义:

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ※4. 弓形定义:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. ※5. 圆的面积公式. 圆的面积SnR180R2 (R表示圆的半径)

※6. 扇形的面积公式:

nR2S扇形的面积 扇形 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

360※弓形的面积公式:(如图5) ABOAOB AOBCS弓形S扇形S三角形

C(1)当弓形所含的弧是劣弧时, C图5

(2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 八. 圆锥的有关概念:

S弓形S扇形S三角形

1S弓形R2S扇形

2※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的

底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. ※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点. 30

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如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

11S侧cl2rlrl22

_ AS表S侧S底面rlr2r(rl)

¤九. 与圆有关的辅助线

1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.

3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线. 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. ¤十. 圆内接四边形

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

※十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理

1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB，PO平分∠APB

2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

_ A_ O_ B_ D_ 7 图

_ 6 图_ B_ O_ P 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B 3．和圆有关的比例线段：

①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图8，AP•PB=CP•PD

如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP2=AP•PB 4．切割线定理

_ C

①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； ②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT2=PA•PB

②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA

5．两圆连心线的性质

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 ②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。 6．两圆的公切线

两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。

如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切线长为l，两圆的圆心

距为d，半径分别为R，r则外公切线长：Ld2(Rr)2

如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，则内公

切线长：L

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d2(Rr)2

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_ C_ B_ P _ O D _ 图8 _ A _2 _ O_1O C__ _ B _ 11 图

_ D_ D_ C_ P_ BT __ 10 图

_ O_ A_ A_ A_ PO_ _ C

_ B_ 9 图

_ R_ O_ 1_ d_ A_ R_ O_ 1_ C_ d_ O_ 2_ r_ B

_ O_ 2_ B_ C 图_ 13

_ r_ A_ 12 图

第四章 统计与概率

1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点. 三. 游戏公平吗?

1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.

2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.

3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:

P事件A包含的基本事件的个数

基本事件的总数4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点: (1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果; (2)要弄清楚所有机会均等的结果.

（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）

∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥

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