初中数学锐角三角函数的经典测试题含答案解析

一、选择题

1．cos60otan45o的值等于( )

A．

3232 B．

2 C．

2 D．1

【答案】A 【解析】 【分析】

根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 解：原式12132． 故选A． 【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．

2．在半径为1的eO中，弦AB、AC的长度分别是3，2，则BAC为（A．75 B．15或30 C．75或15 D．15或45【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】

利用垂径定理可知：AD=32，AE22 ．

sin∠AOD=32，∴∠AOD=60°； sin∠AOE=

22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C．

）度．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

3．如图，在ABC中，ABAC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN1BC，MDBC交AB于点D，NEBC交2AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BMx，BMD的面积减去CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

【答案】A 【解析】 【分析】

1BC，∠B＝∠C＝α，求出CN、DM、EN的长度，利用y＝S△BMD−S△CNE，即可求解． 2【详解】

设a＝解：设a＝

1BC，∠B＝∠C＝α，则MN＝a， 2tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα， ∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·∴y＝S△BMD−S△CNE＝

1（BM·DM−CN·EN）＝21atan2tanx2tanax2xa，

22∵

atan为常数， 2∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

4．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）

A．5 3B．

3 5C．2 2D．

2 3【答案】B 【解析】 【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEFAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BEDCDF，设CD1，CFx，则CACB2，再根据勾股定理即可求解． 【详解】

解：∵△DEF是△AEF翻折而成， ∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF， ∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°， ∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2， ∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+CD2＝DF2， 即x2+1＝（2﹣x）2， 解得：x3， 4CF3． DF5sinBEDsinCDF故选：B． 【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ）

24 7A．B．

7 3C．

7 24D．

1 3【答案】C 【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x． 在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62， 解得x=

25257=， ，故CE=8-444CE7. CB24∴tan∠CBE=故选C.

考点：锐角三角函数.

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．

1 2C．3 2D．3 3先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝3-32=3，即可求出答案 33【详解】

过点C作CF⊥BD与点F． ∵∠BAE＝30°， ∴∠DBC＝30°， ∵BC＝2，

∴CF＝1，BF＝3 ， 易证△AEB≌△CFD（AAS） ∴AE＝CF＝1， ∵∠BAE＝∠DBC＝30°， ∴BE＝

33 AE＝， 33323 ， ＝33∴EF＝BF﹣BE＝3 ﹣在Rt△CFE中，

1tan∠DEC＝CF故选C．

3，

23EF32

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，在矩形ABCD中E是CD的中点，EA平分BED,PEAE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：①EB平分AEC；②PABE；③AD④PB2PC．其中结论正确的个数是（ ）

3AB；2

A．4个 【答案】A

B．3个 C．2个 D．1个

【解析】 【分析】

根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可． 【详解】

解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点， ∴DE＝CE，

又∵AD＝BC，∠D＝∠C， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确； ∴△ABE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB， ∵PE⊥AE，

∴∠DEA＋∠CEP＝90°， 则∠CEP＝30°， 故∠PEB＝∠EBP＝30°， 则EP＝BP，

又∵AE＝AB，AP＝AP， ∴△AEP≌△ABP（SSS）， ∴∠EAP＝∠PAB＝30°， ∴AP⊥BE，故②正确； ∵∠DAE＝30°， ∴tan∠DAE＝

DE3＝tan30°＝， AD33CD， 2∴AD＝3DE，即AD∵AB＝CD， ∴③AD3AB正确； 2∵∠CEP＝30°，

1EP， 2∵EP＝BP，

∴CP＝∴CP＝

1BP， 2∴④PB＝2PC正确． 综上所述：正确的共有4个． 故选：A． 【点睛】

此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．

8．如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距OM2，则该圆的内接正三角形

ACE的面积为（ ）

A．2 【答案】D 【解析】 【分析】

B．4

C．63 D．43 连接OC,OB，过O作ONCE于N，证出COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】

解：如图所示，连接OC,OB，过O作ONCE于N， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴COB60o， ∵OCOB，

∴COB是等边三角形， ∴OCM60o， ∴OMOC•sinOCM， ∴OCOM43(cm)． sin603123OC,CN2， 23123443， 23∵OCN30o， ∴ON∴CE2CN4，

∴该圆的内接正三角形ACE的面积3故选：D．

【点睛】

本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键．

9．如图，在ABC中，AC4，ABC60，C45，ADBC，垂足为D，

ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）

A．

2 2B．22 3C．42 3D．

32 2【答案】C 【解析】 【分析】

在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度． 【详解】 ∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90 在Rt△ADC中，AC=4，∠C=45 ∴AD=CD=22 在Rt△ADB中，AD=22，∠ABD=60 ∴BD=263AD=． 33∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=30°． 在Rt△EBD中，BD=26，∠EBD=30° 3∴DE=

223BD=

33∴AE=AD−DE=22-故选：C 【点睛】

2242= 33本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

10．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是( )

A．4 【答案】B 【解析】 【分析】

B．83 C．6

D．43 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC， ∴∠OAB=60°，

在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=43， ∴光盘的直径为83． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

11．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为102km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行47km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）

km．

A．83 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

B．93 C．63 D．73 解：∵∠MAB=45°，BM=102，

∴AB=BM2MA2=(102)2(102)2=20km， 过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，

在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC﹣∠MAB=75°﹣45°=30°， tan∠BAD=

BD3=， AD3∴AD=3BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（3BD）2=202， ∴BD=10，∴AD=103，

在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=43，∴CD=23， ∴AC=AD﹣CD=103﹣23=83km，

答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为83km． 故选A．

【考点】

解直角三角形的应用-方向角问题．

12．如图，在扇形OAB中，AOB120，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若CD33，则扇形AOB的面积为（ ）

A．12 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2

C．4

D．24

如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】

解：如图作OH⊥AB于H．

∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63， ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33，

∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝

AH， AOAH336∴AO＝sinAOH， 32120gg6212， ∴扇形AOB的面积为：

360故选：A． 【点睛】

本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（ ）

A．

1 2B．

2 2C．3 2D．3 3【答案】A 【解析】 【分析】

首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC，

∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=故选A.

1. 2

14．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于

1CD2为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）

A．ABC60

【答案】C 【解析】 【分析】

B．SVABE2SADE D．sinCBEC．若AB=4，则BE4721 14由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=

1CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得2EH21． BE14sin∠CBE=【详解】

解：由作法得AE垂直平分CD， ∴∠AED=90°，CE=DE， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=2DE，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确； ∵AB=2DE，

∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确； 作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，

CH=

1CE=1，EH=3CH=3， 2在Rt△BEH中，BE=(3)25227，所以C选项的说法错误； sin∠CBE=故选C． 【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．

EH321，所以D选项的说法正确． BE2714

15．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）

A．(303-50，30) 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)

解：OA=15×4=60海里， ∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，

OC1=， AO2∴CO=30海里，

∵sin30°=

∴AC=303海里， ∴BC=（303－50）海里， ∴B（303－50，30）. 故选A

【点睛】

本题考查掌握锐角三角函数的应用．

16．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（ ）

A．

213 13B．

313 13C．

2 3D．

13 13【答案】B 【解析】 【分析】

首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面

1•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，2则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解． 【详解】

∵四边形ABCD为正方形， ∴BA＝AD，∠BAD＝90°，

∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F， ∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，

∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠EAD， 在△ABF和△DEA中

积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到

BFADEAABFEAD ABDA∴△ABF≌△DEA（AAS）， ∴BF＝AE；

设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1， ∵四边形ABED的面积为6，

11xxx16，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）， 22∴EF＝x﹣1＝2，

∴

在Rt△BEF中，BE223213，

∴cosEBF故选B． 【点睛】

BF3313． BE1313本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．

17．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )

A．米

mmmmB．千米 千米 C．千米 D．千

tantancotcotcotcottantan【答案】A 【解析】 【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答. 【详解】

在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=POcot，BO=POcot，又AB=m=AO-BO= POcot- POcot= 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

m. 所以答案选A.

cotcot

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=

边形EOFB

4，⑤S△DOC=S四3中，正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D 【解析】

分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=DF正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．

详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°． ∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．

BCCD在△EBC和△FCD中，BDCF，

BECF∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确， ∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确； 连接DE，如图所示，若OC=OE． ∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=

DC4=，故④正确； FC3 ∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；

故正确的有：①③④⑤． 故选D．

点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

19．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

B．3 C．2

D．

1 2连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值. 【详解】 连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC =

PA, OA∴PA= tan60°×1=3. 故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.

20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．

A．15－53 【答案】A

B．20－103 C．10－53 D．53－5

【解析】 【分析】

过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论． 【详解】

解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．

在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

∴AM＝AB•cos30°＝53（米），BM＝AB•sin30°＝5（米）． 在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°， ∴DE＝AE•tan60°＝103（米）．

在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋53（米），∠CBN＝45°， ∴CN＝BN•tan45°＝10＋53（米），

∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋53＋5−103＝15−53（米）． 故选：A． 【点睛】

本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．